isicad.ru :: портал САПР, PLM и ERP :: версия для печати

Статьи

28 апреля 2015

Второе рождение циклоидального овала, или как был разобран по косточкам циклоп

Виктор Чебыкин

Виктор Чебыкин

От редакции isicad.ru: Публикуемая сегодня статья В. Чебыкина отражает одну из многочисленных граней творчества Блеза Паскаля и, вместе с тем, дополняет одну из разработок выдающегося французского математика. В статье использованы материалы заметок, опубликованных в журнале «САПР и графика» и на нашем портале, а также приводятся новые данные (свойства, элементы, константы… описываемой кривой).
Блез Паскаль Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели ее древние, ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматься от земли, до того, когда непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота. ( Блез Паскаль)

Согласно справке из Википедии, Блез Паска́ль (фр. Blaise Pascal; 1623-1662) — французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Предисловие

С характеристикой рулетты (циклоиды), данной Паскалем, в целом можно согласиться, за исключением фразы «…что надо удивляться тому, как не рассмотрели ее древние…». Известно и неоспоримо, что развитие науки - это непрерывный процесс получения, совершенствования и накопления знаний, фактов, теорий, методов…. Причём этот процесс является ускоряющимся благодаря развитию человеческого интеллекта, накоплению знаний и прогрессу техники, при этом, второе и третье во многом определяется первым.

Так что удивляться не стоит – то, что не знали «древние» стало доступно в 15 – 18 веках. Ту же циклоиду, казалось бы, изучили тогда вдоль и поперёк. Однако белые пятна всё же остались, что также не удивительно.

Рождение новой кривой. 17 век

В одной из работ Блеза Паскаля, посвященной циклоиде, можно увидеть кроме циклоиды ещё и овал - замкнутую эллипсовидную кривую (рис. 1).
Чебыкин Паскаль 1

Рис. 1. Фрагмент из работы Блеза Паскаля

Нетрудно догадаться, что она составлена из двух циклоид, но свойства её не раскрыты, ничего не известно про характерные точки, фокусы, константы…. Не известно также, было ли присвоено этому овалу имя. Есть предположение, что овал использовался Паскалем для более точного построения циклоиды в районах точек возврата. Второе предположение – овал использовался при выводе формул расчета площадей и объемов тел, получаемых при вращении частей арки циклоиды вокруг разных осей. Так или иначе, автором этой геометрической фигуры следует считать Блеза Паскаля.

Интересно было узнать и имена других ученых, изучавших циклоиду: Галилей, Ньютон, Мерсенн, Декарт, Лейбниц, братья Бернулли, Рен, Ферма, Торичелли, Вивиани, Роберваль, Гюйгенс, Чирнхаус, Лопиталь, Бовель, Николай Кузанский… Согласитесь, список впечатляющий! Однако они не увидели в овале, сложенном из двух циклоид, новую кривую, во всяком случае, не описали её свойств, не нарекли именем.

Второе рождение кривой – вывод из забвения

При работе над статьёй «Классификация и идентификация эллипсовидных овальных кривых» САПР и графика, №3, 2014 [1] было желание охватить как можно большее число замкнутых кривых такого рода, сравнить их геометрию и свойства, классифицировать и определить критерии их идентификации.

Циклоида, с её овальными очертаниями, хотя и не принадлежит к замкнутым кривым, тоже попала в поле моего зрения. Когда первая циклоида была мной построена, было замечено, что касательные к кривой в точках возврата не проходят через верхнюю точку производящей окружности, что противоречит одному из свойств циклоиды. Разбиение производящей окружности на большее количество отрезков давали также неутешительные результаты. Тогда возникла идея зеркально отобразить точки построения циклоиды относительно её основания и соединить все точки единым замкнутым сплайном. Полученный таким образом овал состоит из двух кривых, которые уже соответствуют указанному свойству циклоиды. Возможно, и у Паскаля была подобная последовательность действий для получения правильной геометрии циклоиды.

Но кривая, состоящая из двух циклоид, уже интересовала меня больше как овал (что думал по этому поводу Паскаль, мне неизвестно). Это то, что я искал для вышеупомянутой статьи. Первым делом стал смотреть информацию об этом овале в интернете и, ничего кроме картинки Паскаля (рис. 1), не нашёл. Молчок и полный тишок (спасибо Давиду Левину за возрождение забытого слова, а если его и не было, то с лёгкой руки ДЛ будет!).

У геометрической фигуры нет имени, нонсенс, надо исправлять. Первое название было «кривая 2С» (двойная циклоида), затем изменено на «циклоидальный овал». Этот термин впервые предложен в статье [1], в которой и начато описание геометрии и свойств овала, и которое было продолжено в статье «Циклоидальный и псевдоциклоидальные овалы», САПР и графика, №11, 2014 [2].

В одной написанной мной статье было предложено называть циклоидальный овал циклопом. Приживётся ли такое имя, покажет время.

Почему именно циклоп:

  1. Имя созвучно с циклоидой;
  2. Многие известные геометрические фигуры имеют короткие имена;
  3. Своей формой овал похож на беспозвоночное животное из отряда веслоногих ракообразных, называемое циклопом;
  4. Провести параллель можно и с мифическим существом – циклопом – одноглазым гигантом. Наш геометрический циклоп отличается не размером, а циклопическим (большим) количеством констант. Вместо глаза у него два фокуса.

Элементы циклоидального овала (циклопа) Рис. 2 и циклоидальных овалоидов

Чебыкин Паскаль 2

Рис. 2. Циклоидальный овал (циклоп)

Чебыкин 2 рис 2 формулы

Чебыкин  рис 2  константы

Поиск упоминания циклоидального овала и его констант в литературе и интернете ничего не дал, поэтому названия констант и их обозначения предложены автором. Значения констант также пришлось (не без труда, но с интересом) определить самому. Математики, проверьте!

Первые семь констант были приведены в статье [1]. Позже были определены значения ещё девяти констант, семь из которых приведены в статье [2]. В этой статье приводится полный список констант, в том числе, две новые, а значение одной из ранее определённых констант уточнено, это касается перифокусной константы.

Формулы расчета некоторых параметров циклоидального овала и циклоидальных овалоидов:

Чебыкин  Паскаль формулы

Формулы (3) и (5) выведены Робервалем, (4) и (6) - автором статьи. Не исключаю, что последние две формулы были получены ранее Паскалем или Робервалем, либо кем-нибудь ещё, но информации об этом у меня нет. Циклоидальные овалоиды изображены на рис. 3.
Чебыкин Паскаль 3

Рис. 3. Циклоидальные овалоиды: а) овалоид вращения вокруг малой оси; овалоид вращения вокруг большой оси

Свойства циклоидального овала

По контрэллипсной классификации, предложенной в статье [1], циклоидальный овал относится к группе гипоовалов. Поскольку этот овал состоит из циклоид, которые обладают свойствами брахистохронности и таутохронности, естественно, что эти свойства присущи и ему. Рассматривать эти свойства не будем, так как они хорошо изучены на циклоиде.

Одним из свойств циклоидального овала является наличие двух фокусов, имеющих строго определенное расположение. Фокусы могут обменяться между собой восемью парами лучей, отраженных от кривой, и парой прямых лучей. Это свойство было описано в статьях «А не замахнуться ли нам на Габриеля нашего Ламе?», САПР и графика, №8, 2013 [3] и «Параболический ли купол Исаакиевского собора?», isicad.ru, №127, февраль 2015 [4].. Точки падения этих лучей на кривую, также как у кривой R-1, являются характерными – в них меняется знак роста суммы пары отрезков от точки кривой до фокусов на противоположный (рисунок с полным комплектом характерных точек не показан).

Отличительным свойством овала является наличие четырёх перицентров. У эллипса, как известно, их два.

Еще одно свойство циклоидального овала (циклопа): размеры элементов овала могут быть найдены как произведение радиуса производящей окружности данной циклоиды или размеров осей (полуосей) с определенными константами, приведенными выше. Это позволяет, зная значение одного (любого) элемента или параметра овала, определить радиус производящей окружности циклоиды и построить овал.

Как видим, циклоидальный овал по своим свойствам и геометрии является уникальной кривой. Взять хотя бы константы. Найдется ли ещё геометрическая фигура с таким количеством констант?

Стоит сказать и о том, что циклоидальный овал является «родоначальником» бесконечного ряда овальных кривых. Присвоим им имя – «псевдоциклоидальные овалы» - (PCO – сокращенное от pseudo-cycloidal oval) и рассмотрим их ниже.

Псевдоциклоидальные овалы (псевдоциклопы)

Псевдоциклоидальный овал – плоская гладкая замкнутая эллипсовидная овальная кривая. Название впервые предложено в статье [2], где и начато описание его геометрии и свойств. Вот один из способов получения псевдоциклоидальных овалов: используя операцию «Выдавливание» (термин КОМПАС-3D), создадим 3D-модель прямого циклоидального цилиндра (рисунок не показан). Эскиз основания цилиндра – циклоидальный овал. При рассечении цилиндра наклонными плоскостями получаем фигуры, контуры которых внешним видом напоминают циклоидальный овал. Одни из них вытянутые по отношению к циклоидальному овалу, другие – сжатые, третьи - косые (рис. 4).
Чебыкин Паскаль 4

Рис. 4. Овальные кривые: а) циклоидальный овал;
б) и е) – вытянутые псевдоциклоидальные овалы;
в) и г) – сжатые псевдоциклоидальные овалы; д) косой псевдоциклоидальный овал

Это и есть псевдоциклоидальные овалы. Меняя расположение секущей плоскости, можно получить бесчисленное множество PCO различной формы.

PCO сохраняют некоторые черты циклоидального овала, как по форме, так и по свойствам (это не касается косых псевдоциклоидальных овалов.) Потеряв большинство констант, две из них PCO всё же сохраняют: это площадная контрэллипсная константа и площадная контрпрямоугольная константа, причём их численные значения совпадают с аналогичными у циклоидального овала:

площадная контрэллипсная константа Spcoe = S/Se ≈ 0,954 929 658 55…;
площадная контрпрямоугольная константа Spco□ = S/S□ = 0,75,

где: S – площадь овала, Se – площадь описанного эллипса, S□ – площадь описанного прямоугольника.

Эти константы помогут идентифицировать PCO из ряда различных овальных кривых.

Псевдоциклоидальные овалы (кроме косых), как правило, имеют по два фокуса, но в определенных интервалах параметров могут быть бесфокусными. В сжатых псевдоциклоидальных овалах, в зависимости от параметров, фокусы могут располагаться как на одной, так и на другой осях. По предложенной в статье [1] классификации эти кривые (кроме косых) – гипоовалы. Сравним площадную контрпрямоугольную константу CO и PCO, равную 0,75, с аналогичной константой окружности и эллипса, у которых она составляет: π /4 ≈ 0,785 398 163 39…. По этой константе циклоидальный и псевдоциклоидальные овалы можно назвать эталонными овальными кривыми.

Применение

Обладая свойствами брахистохроны, полукрылья циклоидального овала могут использоваться как кривые скорейшего спуска. Таутохронность циклоиды привела к созданию маятника Гюйгенса. Известны и применяются циклоидальные передачи и редукторы. Форма циклоидального овала может использоваться в кулачках и эксцентриках. Возможно применение в оптике, архитектуре, дизайне и т.д.

Псевдоциклоидальные овалы, благодаря бесконечному разнообразию форм (пропорций), могут быть использованы в таких областях техники, как: кораблестроение, авиастроение, архитектура, оптика и многих других.

На рис. 5 показаны 3D-модели нескольких псевдоциклоидальных овалоидов.

Чебыкин Паскаль 5

Рис. 5. Псевдоциклоидальные овалоиды. Примеры

Заключение

Ну вот, циклопа разобрали по косточкам, кто следующий? Буду рад, если статья кого-либо заинтересует, окажется полезной. Буду признателен и за любые поправки и критические замечания.

Прошу проверить и уточнить значения констант (конечно, не до 10-триллионного знака, как это было, да ещё и продолжается, с числом Архимеда). ☺ Особо ценным будет уточнение фокальной константы.

Если у кого-то возникнет вопрос: зачем вообще нужны эти константы, то попробуйте решить такую задачу: необходимо определить площадь циклоидального овала при условии, что известен размер только одного из его элементов (например, перифокусное расстояние). Вопрос после этого, надеюсь, будет снят.

Ответит ли кто-нибудь на вопрос: Являются ли псевдоциклоидальные овалы брахистохронными кривыми? Кто давно не делал открытий, предлагаю заняться!  

Желаю Вам успехов в труде и большого счастья в личной жизни!.... Благодарю за внимание! (Фраза заимствована у прораба – лектора (М. Пуговкин) из «Операции Ы»).  

Библиографический список
1. Чебыкин В. Классификация и идентификация эллипсовидных овальных кривых // САПР и графика. 2014. № 3. С. 92, 94.
2. Чебыкин В. Циклоидальный и псевдоциклоидальные овалы // САПР и графика. 2014. № 11. С. 105-106.
3. Чебыкин В. А не замахнуться ли нам на Габриеля нашего Ламе? // САПР и графика. 2013. № 8. С. 92, 94-95.
4. Чебыкин В. Параболический ли купол Исаакиевского собора? // isicad.ru, №127, февраль 2015.

Все права защищены. © 2004-2024 Группа компаний «ЛЕДАС»

Перепечатка материалов сайта допускается с согласия редакции, ссылка на isicad.ru обязательна.
Вы можете обратиться к нам по адресу info@isicad.ru.