isicad.ru :: портал САПР, PLM и ERP :: версия для печати

Статьи

20 мая 2015

Циклоп. Такой, какой есть

Виктор Чебыкин

Виктор Чебыкин

В этой небольшой статье продолжен (и, возможно, закончен) рассказ о кривой, которую изобразил Блез Паскаль в одной из своих работ, но, почему-то, не описал её. Начало рассказа - в статье «Второе рождение циклоидального овала, или как был разобран по косточкам циклоп», опубликованной ранее на портале isicad.

В статье – три части:

  • Разумно ли отказываться от числа Архимеда в пользу Тау?
  • Новые константы циклопа
  • Эллипс и циклоп, сходство и различия.

Пи или Тау

Некоторые «новаторы», не будем называть их имена, предлагают выкинуть число (константу) Пи из математического лексикона (оборота) и заменить его числом Тау (6,28…). Но, не «выкинтесываются» (cлово с завуалированным, но понятным смыслом. Миров и Новицкий. «Блям-блямчики», 1969) ли они? Подробнее об этом можно прочитать здесь).

«Новаторы» аргументируют своё мнение тем, что использовать отношение длины окружности к её диаметру не совсем корректно, или даже ошибочно, так как контур окружности рисуется крайней точкой радиуса, поэтому и надо рассматривать отношение длины окружности к радиусу. Да и формула длины окружности с Тау будет более лаконичной: L=τR вместо L=2πR. Приводятся примеры упрощения и других формул. Ну а упрощение это, сами понимаете, только в изъятии «пресловутой» цифры 2. На первый взгляд их доводы вроде бы логичны.

Но всегда ли формулы с Тау проще? Запишем формулу площади круга: S=πR^2, или S=τ/2 R^2. Ясно, что первая формула предпочтительней. И это не единственный пример.

Приведу несколько формул для расчёта констант циклоидального овала (циклопа):

4 формулы Чебыкина

И тут мы видим, что формулы с Пи предпочтительней, посему число Архимеда в архив сдавать не дадим! Вот так циклоп защитил π
Чебыкин Как циклоп защитил ПИ

Рис.1. Уровень художественного исполнения картинки не высок, да и боксёрам она вряд ли понравится, прошу за это строго не судить, но смысл, надеюсь, понятен  

Новые константы и параметры циклопа (рис. 2)

Чебыкин Формульный фрагмент про циклопа 2

Чебыкин Циклоп 2 2

Рис.2

Итак, число констант кривой, благодаря этим четырём, доведено до 20. Но лучше было бы 21….

Вспомните сцену экзамена из фильма «Операция «Ы»…», когда студент, набрав несколько билетов, и, оценив сумму их номеров, предлагает профессору: «Себе!». У профессора рука инстинктивно потянулась к билетам (тоже - бывший студент)…. Действуя аналогично студенту, предлагаю читателям 21-ю константу циклопа найти самостоятельно. Это будет вашим весомым и почётным вкладом в изучении кривой! 

Эллипс и циклоп. Сходство и различия

Сходство: обе кривые замкнутые, гладкие, выпуклые, переменной кривизны, симметричные относительно двух осей, четырёхполюсные, двухфокусные.

Различий много. Перечислим их ниже.

1. Соотношение размеров осей у эллипса любое, у циклопа неизменное – π/2;

2. Все лучи, исходящие из фокусов эллипса, отражаясь от кривой, сходятся в противоположных фокусах. Фокусы циклопа могут обменяться только восемью парами отраженных лучей и парой прямых лучей. Точки падения этих лучей на кривую являются характерными точками, в которых меняется знак роста суммы длин падающего и отраженного лучей на противоположный. Есть максимумы и минимумы. У эллипса таких характерных точек нет, т.к. сумма отрезков от любой точки его периметра до фокусов неизменна (константа для каждого отдельно взятого эллипса);

3. Циклоп имеет целый ряд констант, связанных с его стабильной формой. Эллипс подобных констант не имеет, за исключением площадной контрпрямоугольной константы и уникальной локальной константы суммы отрезков до фокусов (см. п. 2);

4. Площадная контрпрямоугольная константа (отношение площади овала к площади описанного прямоугольника) у эллипса составляет π/4 , у циклопа – 0,75;

5. Эллипс имеет два перицентра, совпадающие с апоцентрами, у циклопа такого совпадения нет, к тому же, у него четыре перицентра;

6. Любые сечения эллиптического цилиндра плоскостью – эллипсы. Сечения циклоидального цилиндра плоскостью – вытянутые, сжатые и косые (диссимметричные, имеющие только центральную симметрию, это касается последних) псевдоциклоидальные овалы.

Согласитесь, различия существенные. Эллипс и циклоп – «два сапога» (овала), родственники по материнской линии (окружности), но не «пара»  .

Заключение

Если резюмировать те новые данные, которые впервые приводятся в статьях:

«Второе рождение циклоидального овала, или как был разобран по косточкам циклоп» и
«Циклоп. Такой, какой есть»,

получим следующий список:

  1. Приведены шесть новых констант циклоидального овала, определены их значения;
  2. Уточнено значение одной из ранее предложенных констант (перифокусная константа);
  3. Определено положение перицентров кривой;
  4. Предложено новое название кривой – Циклоп;
  5. Предложен новый вид овалов – Косой псевдоциклоидальный овал (косой псевдоциклоп);
  6. На примере циклопа показана нецелесообразность замены числа Архимеда числом Тау;
  7. Приведено сравнение свойств эллипса и циклопа.


Все права защищены. © 2004-2024 Группа компаний «ЛЕДАС»

Перепечатка материалов сайта допускается с согласия редакции, ссылка на isicad.ru обязательна.
Вы можете обратиться к нам по адресу info@isicad.ru.