isicad: ЦИКЛОН и ЦИТРОН — новые овальные кривые стабильной формы

Согласитесь, что мало в математике известно овалов стабильной формы, а до исследования циклопа и появления циркона на слуху была, пожалуй, только одна такая кривая —окружность. А, например, правильных многоугольников существует бесчисленное множество. Надо исправлять этот перекос, не правда ли?

Не вдаваясь в подробности поиска, скажу, что удалось-таки отыскать ещё пару стабильных по форме (многоконстантных) овальных кривых, о которых далее и пойдёт речь. А получены они аналогично получению циклопа, только перекатывали по прямой не окружность, а контур циклопа. Траектория, описываемая точкой на полюсе большой оси циклопа – это половина циклона, а точка на полюсе малой оси формирует контур цитрона. Полученные овалы отличаются оригинальной формой и обладают рядом характерных (неповторимых у других кривых) свойств.

ЦИКЛОН (CYCLON)

Овал изображён на рис. 1. Дадим ему определение: плоская, гладкая, выпуклая, переменной кривизны, замкнутая, двухфокусная овальная кривая стабильной формы (многоконстантная). По контрэллипсной классификации он относится к гипоовалам.

Рис.1. Овал ЦИКЛОН

На его контуре можно различить четыре участка повышенной кривизны, которые расположены на полюсах, и столько же участков с меньшей кривизной, что характерно и для некоторых других кривых. Поскольку построение овала проводилось по небольшому количеству точек (144), пока не имеет смысла определять его константы, и это, надеюсь, будет сделано позже. Но одну уже назвать можно: это константа соотношения размеров осей, которая равна 4/π. Овал имеет два фокуса, два апоцентра и четыре перицентра.

ЦИТРОН (CITRON)

Первое название овалу было дано STADIUM (стадион) из-за сходства с овалом стадиона (рис. 2), но для того, чтобы имена всех овалов стабильной формы были созвучными, он переименован в CITRON (цитрон)

Рис. 2 Овал ЦИТРОН

А ещё он похож на овал Кассини при соотношении параметров последнего: a/c = √2 и чуть больше, но при этом имеет более удлинённую форму. Определение овалу можно дать такое же, как циклону, но с одним (из нескольких) отличием: цитрон – гипергипоовал. Эллипс, построенный по полюсам овала, имеет с ним четыре точки касания и четыре – пересечения. Примерно 90% контура эллипса находится внутри овала, остальное снаружи. Напомню, что гипергипоовалы есть среди кривых Ламе, а также в коробовых кривых.

Овал имеет шесть участков повышенной кривизны и, расположенные между ними, шесть участков с меньшей кривизной. Это свойство также отличает его от циклона, да и от многих других овальных кривых.

Овал является кривой стабильной формы (многоконстантной). Определение значений констант пока не проводилось по той же причине, что и у циклона. Кстати, ручное построение и того, и другого овалов несколько сложнее, чем построение циклопа, поэтому здесь, как никогда, пригодилась бы помощь математика и программиста. Хотелось бы надеяться на эту помощь.

Ещё одно уникальное среди овалов стабильной формы свойство этой кривой: соотношение осей овала равно целому числу – 2 (первая константа этого овала). Это свойство присуще только окружности (соотношение равно 1). А вот аналогичные константы циклопа, циркона и циклона являются числами иррациональными (соответственно: π/2; 1/(1-2/π); 4/π).

Обе кривые были проверены нормалями на отсутствие перегибов. Это пришлось сделать потому, что одна из них никак не хотела строиться выпуклой единым сплайном. Но причина этого была установлена и устранена, после чего кривая стала гладкой и выпуклой.

Вот пока вкратце всё, что можно сказать сейчас об этих новых овалах. Константы определим, когда будет уточнена их (овалов) геометрия. Однозначно, появятся новые свойства, некоторые уже сейчас просматриваются. Думаю, что и применение этим овалам найдётся…. Ну, например, новый стадион наподобие Estadio Azteca в Мехико (гиперэллипс Ламе), но только у нас, в Новосибирске!

Итак, на настоящий момент известны овалы стабильной формы: окружность, циклоп, циркон, циклон и цитрон (circle, сyclop, сircon, cyclon, citron). Какой следующий? (рис. 3)

Рис. 3. Приём у королевы

Примечание: Написание некоторых английских терминов изменено для их созвучности, тем более, что они уже не относятся к первоначальным объектам.