isicad: Зависимость одних и независимость других овалов стабильной формы от числа Архимеда

То, что не все овалы стабильной формы π-зависимые, честно сказать, для меня было неожиданным. Факт независимости от числа π выяснился при определении значений констант овалов лимон и гиперон. Первому овалу была посвящена статья на isicad, а о втором статья была написана, но не опубликована, сейчас перерабатываю её.

Зависимые от числа Архимеда овалы стабильной формы

Таких на данный момент известно пять: окружность, циклоп, циркон, циклон и цитрон. Как они строятся (получены), вы знаете сами или из статей, посвящённых им на страницах isicad, и, поэтому, повторяться не буду. Но, как используется (задействовано) число π в них, рассмотрим. Эта константа входит в состав формул определения длины окружности и площади круга, а также присутствует в формулах площади поверхности и объёма шара. Кроме того, окружность имеет множество внешних констант. Это отношение площади круга к площади любого правильного многоугольника (вписанного или описанного). Постоянными являются и соотношения их периметров. Часть этих констант также содержит π. Благодаря этим константам окружность – многоконстантная кривая.

Число π задействовано также в формулах другого овала – циклопа: площади циклопа, площадей и объёмов циклоидальных овалоидов вращения, а также входит в состав нескольких констант циклопа (см. статью «Циклоп. Такой, какой есть»).

На рис. 1 показано построение следующего овала – циркона. Согласитесь, что он также не обделён присутствием числа Архимеда.

Рис. 1

Число π участвует в определении значений трёх констант циркона (см. статью «Циркон – новая многоконстантная овальная кривая»).

По одной константе, содержащей π, выявлено также у овалов циклон и цитрон. У циклона это константа соотношения осей, равная 4/π , а у цитрона – малая константа полюса повышенной кривизны, равная π/8.

На рис. 2 показана линейка значений одноимённых констант. Это константы соотношения осей всех известных овалов стабильной формы.

Как видим, три константы содержат число π, а ещё две – целые числа.

Независимые от числа π овалы стабильной формы

Таких овалов два. Оба они – лимон и гиперон получены при перекатывании циркона по прямой линии. При этом точка на полюсе большой оси отрисовывает очертание лимона, а точка на полюсе малой оси – очертание гиперона. Как выглядит лимон, все знают, гиперон же будет показан на рис. 3 впервые.

Рис. 3

По каждому овалу были определены значения семнадцати констант, но связь, какой либо из них с числом π , установить не удалось. Единственной надеждой оставалась константа соотношения осей у гиперона, близкая по значению к π (см. рис. 2), но многочисленные построения и измерения тождественность этих констант отвергли.

Какой вывод из этого можно сделать: некоторые овалы стабильной формы могут обходиться собственными константами и не прибегать к помощи числа Архимеда.

Если у кого-либо появится желание проверить мои выводы, я буду только рад и готов оказать содействие. Знаю, что одержимые идеей и настойчивые в достижении цели люди есть!

Для построения этих кривых потребуется производящий контур. В данном случае это циркон, и его тоже надо построить. Напомню, что его четвертинка – график взаимозависимости элементов кругового сегмента: r/R = f (r/L). Успехов!

Рис. 4