isicad: Овалы стабильной формы — простейшие геометрические решатели (само- и взаимо-)

Известно, что правильных многоугольников бесчисленное множество. А вот овалов стабильной формы, с учётом двух, приведённых в этой статье, только девять. Да, это далеко не паритет, но уже кое-что. Но с другой стороны, (при таких делах), правильные многоугольники могут создать только пять правильных многогранников (тела Платона). А девять (пока) овалов стабильной формы позволяют получить семнадцать овалоидов стабильной формы. Как видим, тут перевес уже на их стороне….

Самовосстанавливающиеся овалы

Может ли хвост ящерицы отрастить потерянные туловище и голову? Нет, ответите вы и будете правы, поскольку возможно только обратное. Тогда ещё один вопрос: можно ли по фрагменту контура и характерной точке циклопа восстановить весь его контур? Речь идёт не о мифическом, а о геометрическом циклопе. Да, это возможно. Рассмотрим решение этой задачи.

На чертеже был изображён циклоп и, допустим, что в результате некорректных манипуляций большая часть его контура исчезла. Осталась только маленькая дуга и одна из характерных точек, например, фокус (см. рис. 1).

Рис. 1

Восстановление контура: 1. Соединяем прямым отрезком один из концов дуги с фокусом; 2. Копируем на поле чертежа из банка овальных кривых циклоидальный овал (циклоп) с любым масштабом. 3. Через его фокус проводим прямую, параллельную отрезку на утраченном циклопе, до пересечения с контуром. 4. Измеряем отрезки на утраченном и вставленном циклопах, находим соотношение их длин (в числителе должен быть отрезок утраченного), его значение копируем в числовой буфер. 5. Контур циклопа копируем в геометрический буфер, указав базовую точку – фокус. 6. Вновь вставляем из буфера контур циклопа, вставив в окно «Масштаб» значение соотношения из буфера и совместим фокусы циклопов. Контур восстановлен. Таким способом можно восстановить контур любого овала стабильной формы. Обратите внимание на то, что задействована была только одна точка дуги, из чего можно сделать вывод: овалы стабильной формы можно восстановить по одной характерной их точке и одной произвольной точке контура.

Замечу, что для однозначного и правильного решения задачи необходимо знать расположение большой оси для случая, когда сохранились фокус и дуга, и расположение малой оси, когда сохранились фокус и одна произвольная точка контура. При вставке овала из банка кривых сориентировать его на чертеже по имеющейся оси утраченного овала.

Овалы, не входящие в группу стабильных, таким способом не восстановить.

Овалы – геометрические решатели

Рассмотрим несколько другую задачу, в отличие от рассмотренной в первом разделе. Необходимо восстановить контур овала стабильной формы по его хорде, перпендикулярной одной из осей и дуге, опирающейся на неё (хорду). При этом форма дуги неизвестна. Вспомним, что для решения подобной задачи для кругового сегмента потребовалось построение графика функции R=f(X,L), где R – радиус сегмента, X – хорда, L – дуга. В результате построения был получен овал стабильной формы циркон, ставший решателем для кругового сегмента. Естественно напрашивается предположение, что другие овалы стабильной формы также имеют подобные решатели. Как выяснилось, имеют, к тому же по два.

Было решено именно для циркона (в честь его заслуг) в первую очередь найти (построить) их. На рис. 2 и 3 изображены эти решатели как графики функций A=f(X, L) и B=f(x, l), где A – большая ось циркона, X – хорда сегмента, перпендикулярная малой оси, L – соответствующая ей дуга, B – малая ось циркона, x – хорда сегмента, перпендикулярная большой оси, l – соответствующая ей дуга. Овалам, полученным на основе этих графиков, были даны имена Шпиндель (от англ. spindle – веретено) и Фокинон (англ. foci no – нет фокусов, бесфокусный). Если кому-то не нравятся эти имена, предложите свои, рассмотрим. Покемонов не предлагать!

Рис. 2

Рис. 3

Кратко о них можно сказать следующее: овалы многоконстантные, Шпиндель – гиперовал, Фокинон – гипоовал. Шпиндель, как и все предыдущие овалы стабильной формы (кроме окружности), двухфокусный. Фокинон – первый бесфокусный среди овалов стабильной формы.

Предположим, что надо восстановить контур циркона, но не сохранилось от него ничего, кроме размеров одной пары: хорда – дуга. Благодаря этим параметрам и полученным решателям находим оси A или B, копируем из банка овалов циркон и подгоняем масштабом его до нужного размера по одной из полученных осей. Овал восстановлен, решатели выполнили свою функцию.

Кроме окружности и циркона есть ещё пять овалов стабильной формы, а это значит ещё десять решателей или овалов стабильной формы. Вот уж действительно «Овалы Must Go On»!

Рис. 4