Сравнение цепной линии и параболы, почти по Галилею, но без гвоздей и цепей

Из исторических источников известно, что Галилею не удалось ни подтвердить, ни опровергнуть тождественность висящей цепи и параболы, несмотря на опыты в области механики и ряд натурных экспериментов. Благодаря братьям Бернулли, Гюйгенсу и Лейбницу, которые первыми описали новую кривую – цепную линию, сейчас мы знаем, что это разные (хотя и похожие) кривые, и сравнить их между собой можем без особого труда, было бы только желание.

Вот как это сравнение провёл я. Строить кривые не пришлось, та и другая были построены мной ранее, при написании предыдущих статей (см. рис. 1).

Первым делом выравниваем кривые по высоте путём подрезания ветвей параболы (рис. 2).

Измеряем расстояния между концами ветвей кривых и находим соотношение между ними. Выделяем параболу, масштабируем её по оси X с коэффициентом K, равным этому соотношению. Масштабированную параболу накладываем на цепную линию (рис. 3).

При масштабировании получаем параболу со значением фокального параметра, большим значения фокального параметра исходной параболы в K² раз.

Возможно, кто-нибудь скажет, что этого можно добиться и масштабированием по оси X цепной линии. Можно было бы, если бы в условии задачи было указано: совместить эти кривые ЛЮБОЙ ЦЕНОЙ. Поскольку нам надо сравнить параболу с цепной линией, то этого делать нельзя только по той причине, что цепная линия при одноосном масштабировании перестаёт быть таковой. Парабола же остаётся параболой как при масштабировании по двум осям, так и при одноосном. Так что, как говорится: «Смотри, не перепутай…» 

Вот и сравнили кривые, разница между ними очевидна. Глядя на рис. 3, вы можете задаться вопросом: всегда ли эти кривые пересекаются, если их вершины совпадают? Ответ: нет. При значении параметра цепной линии a, меньшем значения фокального параметра параболы P, кривые не пересекаются.

В заключение задам читателям пару вопросов, так, для закрепления материала по цепной линии:

1. Как убедиться в том, что кривая (показанная, например, на рис. 1), является цепной линией?
2. Как определить параметр цепной линии, которая потеряла привязку к началу координат?

При необходимости приведу свои ответы в комментарии.

Успехов!