isicad.ru :: портал САПР, PLM и ERP :: версия для печати

Статьи

8 мая 2018

Трёхосевые овальные кривые стабильной формы — новые геометрические фигуры

Виктор Чебыкин

Виктор Чебыкин

Вы когда-нибудь пытались соединить две V- или U-образные кривые с расходящимися ветвями так, чтобы без всякого дополнительного скругления (сглаживания) получился гладкий овал? Конечно же, не удастся. А соединить так три подобные кривые? Я решил поэкспериментировать, и вот что из этого получилось.

Треоцеп — первый трёхосевой овал стабильной формы (ОСФ)

Определение: плоская замкнутая выпуклая гладкая 3х-осевая 6-фокусная овальная кривая стабильной формы. Овал получен стыковкой трёх одинаковых привершинных фрагментов цепной линии. Высота фрагментов равна параметру цепной линии (рис. 1).
Трёхосевые овальные кривые

Рис. 1

По принципу построения кривая схожа с треугольником Рёло, составленного из трёх дуг окружности. Внешнее сходство тоже есть, однако результат отличается от него гладкой формой и является овалом. Треоцеп имеет три 8-лучевых фокуса и три 4-лучевых. Лучи каждого фокуса попадают в соседние фокусы напрямую или отражаясь от контура овала. Два луча каждого 4-лучевого фокуса являются круговыми: исходящий из фокуса луч, отражаясь от контура и проходя через соседний фокус, отражается от контура повторно, проходит через второй фокус, и, отражаясь от контура в третий раз, возвращается в родной фокус. Лучи, соединяющие фокусы, образуют несколько геометрических фигур, в том числе: три равносторонних треугольника, шесть равнобедренных трапеций и равносторонний неправильный шестиугольник.

Треоцеп — многоконстантная фигура. Он унаследовал от цепной линии все 19 её констант (см. предыдущую статью по цепной линии) и, как любой из овалов стабильной формы, имеет ряд констант, связанных с формой кривой, фокусами и т. п. Значения некоторых констант были определены, однако было решено в статье их не показывать, кроме одной – константы радиальной асимметрии (соотношение размеров большой и малой полуосей). Значение этой константы будет приведено в таблице, помещённой в конце статьи.

Наиболее важными из констант цепной линии, определяющими форму треоцепа, являются:

  • константа разветвления цепной линии (γ=67,068 329 745 095…° ) и
  • константа отношения параметра цепной линии к высоте её ветвей при угле между осью и касательной 30º (a/h = 1).

Кроме этого овала были построены трёхосевые овалы стабильной формы на базе кривых: секансоида, портупея циклопа, ожерелье окружности (рисунки не показаны), а также на базе параболы (см. раздел ниже).

3х-осевые овальные кривые на базе овалов стабильной формы

Узнаёте ли вы фигуру, изображённую на рис. 2?

Трёхосевые овальные кривые

Рис. 2

Треугольник Рёло? Нет, это Треоцикл — трёхосевой овал стабильной формы, полученный стыковкой трёх приполярных фрагментов овала циклон. Большая кривизна циклона в полюсах большой оси делает этот овал похожим на треугольник Рёло. Овал, так же как и треоцеп, имеет шесть фокусов и похожую сетку лучей. Значение константы радиальной асимметрии также приведено в таблице.

Подобные овалы были также построены на базе фрагментов овалов: циклоп, циркон, цитрон и гиперон (рисунки не показаны).

Треопар — трёхосевой овал стабильной формы, созданный на базе параболы

Трёхосевые овальные кривые

Рис. 3. Фокусы парабол отмечены зелёным цветом

В одной из своих статей я уже подчёркивал, что кривые и овалы стабильной формы при масштабировании по одной оси теряют стабильность (окружность превращается в эллипсы, циклоп — в псевдоциклопы и т. д.). А вот парабола при таком масштабировании остаётся параболой. Трёхосевые овалы, созданные на базе парабол с разной величиной параметра, подобны и имеют одну и ту же константу радиальной асимметрии, да и другие общие константы. Поэтому параболу можно назвать не просто кривой стабильной формы, а кривой суперстабильной формы! А треопар вливается в семью трёхосных овалов стабильной формы. Эту группу овалов предлагаю назвать «треогоны».

Идентификация

А как распознать эти трёхосевые овалы, отличить друг от друга? Легко… — по значениям констант радиальной асимметрии, приведённых в таблице:
Трёхосевые овальные кривые

Применение

Кулачки кулачковых механизмов, выполненные с профилем этих овалов, обеспечат более плавную работу механизмов, чем, например, кулачки с профилем овалов по сопрягаемым дугам окружностей, благодаря отсутствию резких изменений кривизны. Овалы могут служить элементами дизайна, логотипов… Остальное на усмотрение применяющих .

Подведём итог: предложены десять новых овальных кривых стабильной формы, образующих группу трёхосевых ОСФ.

Благодарю за внимание!

Трёхосевые овальные кривые

Все права защищены. © 2004-2024 Группа компаний «ЛЕДАС»

Перепечатка материалов сайта допускается с согласия редакции, ссылка на isicad.ru обязательна.
Вы можете обратиться к нам по адресу info@isicad.ru.