isicad.ru :: портал САПР, PLM и ERP :: версия для печати

Статьи

8 февраля 2019

Правильные многоовалоидные тела – аналоги платоновых тел

Виктор Чебыкин

Виктор Чебыкин

Первым таким аналогом стал параболический тетраэдр, который впервые был описан в статье «Параболический тетраэдр – новое геометрическое тело», опубликованной на isicad.ru. Тема была продолжена в статьях: «Ещё раз о параболических тетраэдрах» и «Криволинейные аналоги тел Платона» в журнале «САПР и графика», в первой из которых рассмотрены разновидности параболических тетраэдров, а во второй – описаны криволинейные аналоги всех правильных многогранников. Выяснилось, что таких аналогов бесчисленное множество.

Найти обобщающее название этим телам

Постоянно делать ссылку, что тело является аналогом такого-то многогранника, представляется не совсем удобным, поэтому этим новым телам нужно собственное обобщающее название.

«Эдр» имеет несколько переводов с древнегреческого: основание, седалище, грань, лицо…, но ни одно из этих слов, кроме «грань», не сочетается со словом «много». Рассматривались следующие варианты названия группы этих геометрических тел: «правильные многосторонники», «правильные овалоидные тела», «правильные тела, ограниченные поверхностями овалоидов», «правильные многоовалоидные тела»…

Однозначно сказать, что какое-то из этих названий наиболее подходящее, пока не могу, но для заголовка статьи выбрано последнее. Обращаюсь также к читателям с просьбой предложить свои названия, возможно, более точные, или выбрать из предложенных мной.

Правильные криволинейные тетраэдры

Сначала хочу уточнить название параболического тетраэдра, описанного в предыдущей статье: его следует называть «Большой параболический тетраэдр». Поясню, почему: при высоте усечённых параболоидов, равной двум фокальным параметрам исходной параболы, получаемое тело будет максимальным по размеру правильным выпуклым тетраэдром. При названной высоте, большей двух параметров, тело будет иметь участки отрицательной кривизны, вследствие чего не является тетраэдром. При значении меньшем двух параметров получаются малые (ребристые) параболические тетраэдры, также правильные (рис. 1).
Правильные многоовалоидные тела

Рис. 1

Кстати, у Большого параболического тетраэдра выявлена ещё одна замечательная константа: это отношение суммарной длины рёбер к радиусу сферы, описанной вокруг него. Это отношение равно 10. Сравните со значением аналогичной константы обыкновенного (гранного) правильного тетраэдра, равным 9,797958971132712392789136298823…, посчитал на встроенном «Феликсе» . Согласитесь, что константа параболического «круче» .

Теперь посмотрим, как выглядят тетраэдры с основаниями-овалоидами на основе других кривых (рис. 2).

Правильные многоовалоидные тела

Рис. 2

В чём их сходство, и чем они отличаются друг от друга?

Сходство: все эти тела – Большие правильные тетраэдры. Свойства симметрии этих тел соответствуют аналогичным свойствам обыкновенного (гранного) правильного тетраэдра. В серединах рёбер все эти тетраэдры не имеют изломов.

Отличия: форма тел задаётся разными базовыми кривыми, имеющими разную геометрию, которая, в частности, определяет высоту вершин овалоидов и стыковых вершин. Соотношения этих высот указаны на рисунке для каждого тетраэдра. Следует отметить, что отношение меньше 1 только у одного тела – секанс-тетраэдра. У него стыковые вершины являются доминантными. У остальных тетраэдров доминантными являются вершины овалоидов. Тетраэдры, значения отношений высот которых близки к 1, по форме близки к шару, но с увеличением величины отношения тетраэдры вытягиваются вдоль осей овалоидов. Самый «брутальный» из показанных – фокинон-тетраэдр.

Аналоги – всем телам Платона

Кривые, которые использовались для построения аналогов правильного гранного тетраэдра, с успехом могут быть применены и для создания аналогов оставшихся четырёх тел Платона. При этом доминирование вершин овалоидов сохраняют не все тела. Так, например, тела на базе параболы сохраняют это доминирование в тетраэдре, гексаэдре и додекаэдре. В октаэдре и икосаэдре доминантными являются стыковые вершины. Последние три тела внешне будут походить на шар.

Для показа были выбраны: фокинон-гексаэдр (рис. 3), циклон-октаэдр (рис. 4), циклон-додекаэдр (рис. 5) и циклон-икосаэдр (рис. 6), которые сохраняют доминирование вершин овалоидов над стыковыми вершинами.

Правильные многоовалоидные тела

Рис. 3

Правильные многоовалоидные тела

Рис. 4

Правильные многоовалоидные тела

Рис. 5

Правильные многоовалоидные тела

Рис. 6

На самом деле криволинейных аналогов тел Платона можно построить значительно больше, просто показанные на рисунках наиболее наглядны.

В заключение приведу цитату известного французского математика и историка математики Мишеля Шаля (фр. Michel Chasles) из книги «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов»:

«Теперь может явиться кто угодно, взять какую-нибудь известную истину, подвергнуть ее различным общим пpиёмам преобразования; и он получит другие истины, новые или более общие, которые в свою очередь можно подвергнуть такому же преобразованию; таким образом можно умножать почти до бесконечности число новых истин, выводимых из одной; правда, не все будут заслуживать внимания, но некоторые могут представлять интерес и даже вести к чему-нибудь весьма общему. И так при современном состоянии науки всякий может обобщать и делать открытия в геометрии; чтобы прибавить камень к зданию уже нет надобности быть гением. Поэтому на современное состояние геометрии можно смотреть, как на состояние явного прогресса и быстрого совершенствования; думаем, что теперь по справедливости можно сказать об этой науке то, что в свое время считалось исключительным характером аналитической геометрии: «Дух новой геометрии – постоянно возводить истины, как старые, так и новые, до возможно большей степени общности».

Эти заключения сделаны автором книги 150 лет назад и, по-моему, актуальны и сейчас. А подчёркнутые мной слова без всякой ложной скромности я отношу и к себе (и себе подобным), и к моим геометрическим «изысканиям». Повторяю, только подчёркнутые .

Благодарю за внимание!


Все права защищены. © 2004-2024 Группа компаний «ЛЕДАС»

Перепечатка материалов сайта допускается с согласия редакции, ссылка на isicad.ru обязательна.
Вы можете обратиться к нам по адресу info@isicad.ru.