Заняться шароусечёнными аналогами архимедовых тел планировал сразу же после платоновых и каталановых. Это сделать помешали обстоятельства, которые сейчас преодолены, и есть возможность вернуться к реализации этой идеи.
Некоторое время ждал от читателей откликов на моё предложение сделать это совместно. Было одно предложение от С. Кишкина об усложнении данной задачи. Но пока моделей никто не показал. Не дожидаясь «семечек без скорлупок» решил сам «колоть грецкие орехи» (греческие, архимедовы)… КОМПАСом.
Википедия: Архимедово тело (или архимедов многогранник) — выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую.
Известны 13 архимедовых тел. Способов построения моделей этих многогранников существует несколько, один из которых реализуется усечением шара плоскостями. Аналогично можно получить и несколько другие тела – так называемые «шароусечённые», сходство которых с архимедовыми телами заключается в равном количестве граней и в равных по величине двугранных углах. Отличаются от многогранников они круглыми плоскими гранями, которые не пересекаются, а сопрягаются между собой касанием, что исключает наличие вершин и прямых рёбер.
Ниже представлены модели шароусечённых аналогов архимедовых тел и их краткие характеристики (рис. 1 – 13).
Рис. 1. Аналог усечённого тетраэдра
8 граней (4 больших, 4 малых), 12 сферических участков.
Двугранные углы: между большими гранями ≈ 70,53°;
между большой и малой гранями ≈ 109,47°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,82.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,27.
Рис. 2. Аналог кубооктаэдра
14 граней (6 больших, 8 малых), 12 сферических участков.
Двугранный угол между большой и малой гранями ≈ 125,26°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,58.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,33.
Рис. 3. Аналог усечённого куба
14 граней (6 больших, 8 малых), 24 сферических участка.
Двугранные углы: между большими гранями = 90°;
между большой и малой гранями ≈ 125,26°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,71.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,17.
Рис. 4. Аналог усечённого октаэдра
14 граней (8 больших, 6 малых), 24 сферических участка.
Двугранные углы: между большими гранями ≈ 109,47°;
между большой и малой гранями ≈ 125,26°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,65.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,33.
Рис. 5. Аналог ромбокубооктаэдра
26 граней (18 больших, 8 малых), 24 сферических участка.
Двугранные углы: между большими гранями = 135°;
между большой и малой гранями ≈ 144,74°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,38.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,22.
Рис. 6. Аналог ромбоусечённого кубооктаэдра
26 граней (6 больших, 8 средних и 12 малых),
48 сферических участков.
Двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 125,26°;
между большой и малой гранями = 135°;
между средней и малой гранями ≈ 144,74°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,53.
Отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,38.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,22.
Рис. 7. Аналог икосододекаэдра
32 грани (12 больших, 20 малых), 30 сферических участков.
Двугранный угол между большой и малой гранями ≈ 142,62°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,45.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,19.
Рис. 8. Аналог усечённого додекаэдра
32 грани (12 больших, 20 малых), 60 сферических участков.
Двугранные углы: между большими гранями ≈ 116,57°;
между большой и малой гранями ≈ 142,62°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,53.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,10.
Рис. 9. Аналог усечённого икосаэдра
32 грани (20 больших, 12 малых), 60 сферических участков.
Двугранные углы: между большими гранями ≈ 138,19°;
между большой и малой гранями ≈ 142,62°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,36.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,28.
Рис. 10. Аналог курносого куба*
38 граней (6 больших, 32 малых), 24 сферических участка.
Двугранные углы: между малыми гранями ≈ 153,23°;
между большой и малой гранями ≈ 142,98°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,40.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,23.
Рис. 11. Аналог ромбоикосододекаэдра
62 грани (12 больших, 30 средних и 20 малых), 60 сферических участков.
Двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 148,29°;
между средней и малой гранями = 159,09°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,32.
Отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,23.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,13.
Рис. 12. Аналог ромбоусечённого икосододекаэдра
62 грани (12 больших, 20 средних и 30 малых), 120 сферических участков.
Двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 142,62°;
между большой и малой гранями ≈ 148,28°:
между средней и малой гранями ≈ 159,09°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,41.
Отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,23.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,13.
Рис. 13. Аналог курносого додекаэдра*
92 грани (12 больших, 80 малых), 60 сферических участков.
Двугранные углы: между малыми гранями ≈ 164,18°;
между большой и малой гранями ≈ 152,93°.
Отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,33.
Отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,14.
*Аналоги курносого куба и курносого додекаэдра имеют правые и левые зеркальные формы, как и их архимедовы прототипы.
Свойства симметрии шароусечённых аналогов совпадают с аналогичными свойствами архимедовых прототипов.
О применении
В качестве игральных костей аналоги архимедовых тел «не прокатят» из-за разных размеров граней и разных расстояний от граней до центра шара. А вот опциональные возможности их использования в качестве игрушек, сувениров и вариантов огранки ювелирных изделий остаются.
