isicad: Четырёхфокусные эллипсы

Вы, возможно, считаете, что свойства эллипсов и их геометрия полностью изучены?

Если честно, то и я не очень верил в существование каких-либо неизвестных свойств эллипса, поэтому долго не решался подступиться к нему, тем более, что он – один из самых «древних», известных и применяемых овалов. А если такие (неизвестные) свойства у него всё-таки есть, то чего им в неизвестности-то пребывать, пусть чтобы и о них знали. Короче, приступаем к проверке, есть ли они.

На самом деле, вот, что побудило меня это делать: при изучении различных эллипсовидных овальных кривых выяснилось, что они могут иметь разное количество фокусов, которые в свою очередь могут обмениваться с противоположными фокусами разным количеством лучей. Так может быть и у эллипсов…?

Приведу примеры: эллипс – 2 фокуса, которые обмениваются бесчисленным множеством лучей; овал R-0 – нет фокусов; овал R-1 – 2 фокуса, которые могут обмениваться 8 парами отражённых лучей и парой прямых лучей; гипоэллипсы Ламе – 2 или 4 фокуса, каждая пара которых обменивается также 9 парами лучей.

Стоит особо сказать ещё о двух овальных кривых, это овал Кассини (в овальном диапазоне) и гиперэллипс Ламе, при проверке которых в каждом из них выявлено по два 9-лучевых и два 7-лучевых фокуса. Характерное отличие последних фокусов от 9-лучевых – 2 луча каждого фокуса являются лучами двойного отражения. На рис. 1 изображены эти кривые.

Рис. 1

На рис. 2 изображён обыкновенный эллипс, коих – бесчисленное множество. На его чертеже, естественно, показаны: оси, центр и фокусы.

Рис. 2

Теперь обратите внимание на точки, находящиеся на большой оси в непосредственной близости от фокусов и на одинаковом расстоянии от них. Назовём их «точки X». Да сколько угодно таких точек можно поставить – скажете вы, но не будем торопиться с выводами. Теперь проведём из одного из фокусов вертикальный луч. Куда он отразится от контура? Правильно – прямиком в противоположный фокус. Из близлежащей точки X также проведём вертикальный луч. Куда он направится после отражения от кривой? Ну, где-то рядом с первым – предположите вы. Уточню: пройдя через центр эллипса, он ещё раз отразится от кривой и попадёт в противоположную точку X. Что касается эллипса, то это может показаться забавным, ведь все знают, что у эллипса только два фокуса.

Прежде, чем продолжить рассказ о точках X, или дополнительных фокусах эллипса, для упрощения терминов, введём следующую классификацию фокусов эллипсовидных овальных кривых: фокусы эллипсов – высшая категория; 9-лучевые фокусы – 1 категория и 7-лучевые – 2 категория.

Теперь зададимся вопросом: могут ли эллипсы помимо своих основных фокусов иметь фокусы 1 и 2 категорий? По фокусам 1 категории вопрос автоматически снимается, поскольку они полностью совпадают с основными фокусами. А вот с фокусами 2 категории (на рис. 2 – это точки X) интересней и сложнее: как выяснилось при построении, эти фокусы есть у эллипсов, но не у всех! Своеобразной «демаркационной линией», отделяющей одни от других, является число √2, это минимальное значение соотношения большой и малой осей эллипса, при котором и ниже которого фокусов 2 категории в эллипсе не будет. Квадратные корни любят вмешиваться в геометрию (вспомните антиэллипсы http://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=18937).

На рис. 3 изображён один из четырёхфокусных эллипсов. Фокусы 2 категории F3 и F4 соединены между собой 7 парами лучей.

Рис. 3

По мере увеличения соотношения осей фокусы 2 категории смещаются от центра эллипса в сторону основных фокусов. Для определения фокального расстояния фокусов 2 категории можно воспользоваться графиком (рис. 4).

Рис. 4

Обозначения на графике: a – большая полуось; b – малая полуось; с – фокальное расстояние.

Выводы:

Подтверждено предположение о наличии дополнительных фокусов у ряда эллипсов. Четырёхфокусные эллипсы существуют!;
Определено граничное значение соотношения осей эллипса, при котором появляются (исчезают) 7-лучевые фокусы (фокусы 2 категории);
Построен график зависимости фокального расстояния фокусов 2 категории от соотношения осей эллипса.

Рис. 5