Параболический ли купол Исаакиевского собора?

От редакции isicad.ru: Виктор Геннадьевич Чебыкин в 1974 году окончил Уральский политехнический институт. Инженер-металлург. Его общий инженерный стаж – 38 лет, в том числе, конструкторский – 19. С 2013 года на пенсии.

Огромный опыт, широкая компетенция и творческий характер дают возможность В.Г. Чебыкину передать много полезного нынешним, в том числе, молодым инженерам и разработчикам. В научно-технических журналах им опубликовано 15 статей, в числе которых написанные в оригинальном жанре геометрических очерков-миниатюр. Несколько таких миниатюр связано с именем Габриэля Ламе, французского математика, механика, физика и инженера, 220 лет со дня рождения которого исполняется 22 июля этого года. Сегодня, с любезного разрешения автора, мы публикуем некоторые из этих очерков.

Согласно справке из Википедии, Габрие́ль Ламе́ (фр. Gabriel Lamé; 1795 —1870) — член Парижской и Петербургской академий, в 1820—1832 работал в Институте корпуса инженеров путей сообщения в Петербурге. Основные труды по математической физике и теории упругости. Разработал (1833) общую теорию криволинейных координат, ввёл (1859) т. н. коэффициенты Ламе и специальный класс функций (1839, функции Ламе). Также в честь него названы параметры Ламе в теории упругости.

I. Параболический ли купол Исаакиевского собора?

Из многочисленных литературных источников можно было почерпнуть сведения о конструкции купола Исаакиевского собора, в частности то, что состоит он из трех куполов: внутреннего – близкого к сферическому; среднего – конусного; и наружного – параболического.

Разрабатывая ранее так называемые «резервуарные» овалы, мне пришлось изучить поглубже (не просто знать формулу) кривые Ламе. В частности было замечено, что при определенных значениях степеней в формуле, кривая приобретала свойства параболы. Не потому ли купол у собора получился параболическим, что над ним работал и Габриель Ламе?

Загорелось проверить эту версию, уловить степень участия Ламе в проекте, да и просто поближе познакомиться с конструкцией купола. Тем более что над конструкцией куполов мне приходилось работать (купола резервуаров), но не будем «путать свою шерсть с общественной».

В любом случае, учитывая тот факт, что эллипс - одна из форм кривой Ламе, и то, что Ламе поучаствовал в создании собора, честь ему и хвала! Это лепесток цветка из всего букета его таланта!

P.S. Позднее я усомнился не только в параболичности купола, но и в том, что он является эллипсоидом или гипоэллипсоидом Ламе, поэтому решил ещё раз посмотреть литературу по этому вопросу. В интернете нашёл книгу Толмачевой Н.И. «Исаакиевский собор», год издания 2003, где на стр. 30-33 говорится о параболической форме третьего (внешнего) свода, а на стр. 34 читаю: «Центральный купол собора имеет сферическую форму. Это придает кафедральному храму не только спокойно-величавый силуэт, но и …». Автор книги, получается, противоречит сама себе. Ну а купол всё-таки, скорее всего – сферический, несмотря на мои измерения, наложения и предположения».

II. Овалы и их применение в инженерной практике

Как известно, овалы (франц., единственное число ovale, от лат. ovum – яйцо) – это замкнутые выпуклые плоские кривые; при этом, под выпуклостью понимают свойство кривой иметь с любой прямой не более двух (действительных) общих точек. Ниже, на рис. 1 изображены шесть овальных кривых, на первый взгляд, очень похожих между собой (за исключением 1е), но, на самом деле, обладающих разными специфическими свойствами, которые оказываются решающими в ряде важным промышленных применений. Первые три кривые (а, б, в) относятся к видам овалов, которые можно назвать классическими; остальные (г, д, е) были введены автором данной заметки для решения некоторых практических инженерных задач.

Рис. 1

Эллипс

Овал Кассини

Известно использование овалов Кассини в теории упругости, в конструкциях антенн, установлено геометрическое подобие овалов с формой силовых линий некоторых электромагнитных полей…

Кривая Ламе

Формула этой кривой, иногда называемой суперэллипсом:

Кривая Ламе (суперэллипс) широко используется, например, в архитектуре (см. рисунок ниже), в дизайне мебели и др.

Знаменитые суперэллипсы: стадион Ацтека в Мехико и площадь в Стокгольме

Следующие три овальные кривые не входят в линейку известных, но, поскольку имеют явное практическое значение (применение) и ряд собственных характерных свойств, так же заслуживают упоминания (кривая R-0) или описания и сравнения с известными (кривые R-1 и R-2). Геометрия кривых определена с помощью 3-мерных сборок: обечайка-люк, выполненных в КОМПАС-3D.

Кривая R-0

Кривая R-1 (резервуарный овал 1 рода)

Рис. 2

Одним из важных свойств овальных кривых R-1 является наличие двух (и только двух) фокусов во всем возможном диапазоне сочетаний параметров: диаметр обечайки – диаметр люка – толщина обечайки – гарантированный зазор. «Гуттаперчевая» кривая Ламе таким свойством не обладает, обращаясь с фокусами более вольно.

Фокусы кривой R-1 могут обменяться между собой восемью парами лучей, отраженных от кривой и парой прямых лучей. У эллипса, как известно, все лучи от одного фокуса собираются в противоположном.

Овал R-1 обладает еще одним свойством: вышеупомянутые лучи делят кривую овала на 8 частей. Точки падения этих лучей на кривую являются характерными точками, в которых меняется знак роста суммы пары отрезков от точки кривой до фокусов на противоположный (см. рис. 2). Интервалы кривой с положительными и отрицательными знаками чередуются. У эллипса, как известно, сумма отрезков от любой точки контура до фокусов есть величина постоянная.

Ниже приведены формулы для определения большой и малой осей этой овальной кривой (все формулы в статье выведены автором):

Кривая R-2 (резервуарный овал 2 рода)

Рис. 3 и Рис. 4

Овал R-2 имеет яйцевидную форму. Его характерным свойством является наличие шести фокусов (см. рис. 3). Шесть лучей, выпущенные из фокуса F1, отраженные от кривой, собираются в противоположном ему фокусе F3 и наоборот, фокусы F2 и F4 связаны между собой пятью парами отраженных лучей, пары фокусов F1 - F5 и F2 – F6 могут обменяться между собой только четырьмя парами отраженных лучей.

Сумма отрезков, соединяющих точки на кривой с фокусами F1 и F2 не постоянна и растет по мере отдаления от полюса H к полюсу C (см. рис. 4). Сумма отрезков, соединяющих точки на кривой с фокусами F1 и F3 не постоянна и имеет смену знака роста в характерных точках A, B, С D, E, H. Сумма отрезков, соединяющих точки на кривой с фокусами F2 и F4 также не постоянна и имеет смену знака роста в точках A, C, E, G, H, K.

Еще одно свойство: точки A и E являются точками перелома кривой, в связи с чем, кривая не относится к гладким.

Указанными свойствами кривая отличается как от R-1, так и от эллипса.

Размеры осей овальной кривой R-2 можно определить по формулам:

Предложенные автором кривые были проверены и непосредственно при разработке и изготовлении резервуаров, где они показали свою состоятельность. С использованием овальных кривых R-1 и R-2 изготовлены уже несколько сотен резервуаров, при этом, ни одного случая плохой стыковки обечайки с люком не зафиксировано, что окончательно доказывает правильность их геометрии. На рис. 5 показан один из резервуаров, конструкция которого выполнена с использованием кривой R-1.

Рис. 5

III. Кривая Ламе – геометрический хамелеон

Известно, что кривая Ламе при степенях 0,5 и равных между собой осях имеет форму четырёхконечной звезды с вогнутыми параболическими сторонами (рис. 1б). Но таких параболических звёзд при желании можно построить множество и форма их будет зависеть от отношения радиуса вершин к фокальному параметру параболы. В отличие от астроиды, также четырёхконечной равноосной звезды, эти кривые не имеют своего имени. Исправим это недоразумение и назовём их тетрапарабоидами.

Переменная тетрапарабоиды (w) – величина равная отношению радиуса вершин к фокальному параметру парабол, образующих кривую. Область изменения этой переменной: 0 < w ≤ √2.

Следует отметить, что только одна из тетрапарабоид совпадает по геометрии с кривой Ламе, та, у которой переменная w = √2. Назовем её тетрапарабоидой Ламе.

Аналогично можно поступить и с равноосной фигурой, состоящей из двух парабол (рис. 1и), назвав её бипарабоидой или бипарабоидой Ламе.

Постоянная равноосной бипарабоиды (k) =2, величина равная отношению полуоси кривой к фокальному параметру парабол, образующих кривую.

Далее по тексту будут предложены ещё несколько терминов, относящихся к диапазонам кривой Ламе.

Известны несколько кривых, меняющих свою форму при изменении параметров. Одни меняют только размеры, другие – и размеры и конфигурацию (форму). Наиболее известной в этом отношении кривой является овал Кассини, который упоминался во втором разделе данной публикации. При изменении отношения параметра с (половина расстояния между фокусами) к параметру a (произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой) овал Кассини может иметь форму: окружности; овала; выпукло-вогнутой кривой; лемнискаты; двух яйцевидных овалов; двух точек.

Рис. 1. Формы кривых Ламе

1а - допараболический диапазон кривых Ламе;

1б – степени m=n=0,5 – тетрапарабоида Ламе; без рисунка – постпараболический диапазон;

1в – m=n=2/3 – астроида;

1г, 1д – постастроидный диапазон;

1е – m=n=1 – квадрат;

1ж, 1з – постквадратный диапазон;

1и – m=1, n=2 – бипарабоида Ламе;

1к – диапазон гипоокружностей;

1л – m=n=2 – окружность; 1м – диапазон гиперокружностей;

без рисунка - m>2, n<2 – диапазон гипергипоокружностей;

1н – m=n=∞ - квадрат.

Желтым цветом показаны формы кривой, когда она совпадает с другими видами кривых, синим – оригинальные формы.

Как видим, кривая Ламе по мере изменения степеней совпадает по форме с параболой и квадратом дважды, а с окружностью и астроидой по одному разу. Попытки найти совпадение кривой с окружностью в диапазоне между параболой и астроидой (диапазон степеней 1/2 - 2/3) закончились неудачей – кривые сближались, но полного совпадения их формы не случилось. Загадка?!

Диапазон кривой Ламе расширяется, если а ≠ b. Так появляются вытянутые тетра- и бипарабоиды, вытянутая астроида, ромб, эллипс, гипо-, гипер- и гипергипоэллипсы, прямоугольник, ну и вытянутые диапазонные кривые Ламе.

Ещё одно свойство кривой Ламе (касается диапазонов гипо- и гиперэллипсов) – это способность иметь разное количество фокусов при изменении параметров a, b, m и n. Об этом свойстве говорилось в предыдущем разделе этой серии заметок: благодаря этому свойству кривая Ламе была названа «гуттаперчевой» кривой.

Вот такую замечательную и загадочную кривую придумал в 1818 году Габриэль Ламе!

IV. Фокусы и другие загадки кривой Ламе

Фокусы кривой

Фокус – термин многозначный. Вот некоторые значения этого слова из Википедии:

• Фокус – точка в оптической системе;
• Фокус – номер иллюзиониста, демонстрирующий необъяснимый эффект, «чудо».
• Фокус кривой (или поверхности) – в геометрии: точка, для которой выполняется определённое соотношение со всеми точками кривой (поверхности). В частности, фокус конического сечения.

Рис.1. Гипо- и гиперэллипсы Ламе: а) гипоэллипс (бесфокусный); б) гипоэллипс (4 фокуса); в) гиперэллипс (4 фокуса)

ЛАбиринт ЛАме

Можно ли визуально оценить обтекаемость того или иного тела вращения? Можно, если сравнивать тела с существенной разницей в геометрии. А выбрать наиболее обтекаемую форму из близких и похожих? Думаю, что это маловероятно. Сможет ли кто-нибудь назвать степени в формуле Ламе, благодаря которым гипоэллипсоид будет самым обтекаемым?

Я этого не смог сделать, поэтому решил, кроме создания 3D-моделей гипоэллипсоидов, ещё и посчитать их лобовое сопротивление давления (ЛСД). Хотя это сопротивление является частью полного сопротивления движущегося тела в воздушной или водной среде, для предварительной оценки обтекаемости оно может быть достаточным. Для получения более точных расчетов ЛСД лобовая часть моделей делилась на 12 частей. ЛСД головной части из-за большой кривизны считалось отдельно.

Создаваемые модели гипоэллипсоидов, разумеется, имели одинаковые длину и площадь миделя. Соотношение осей a/b=2π выбрано произвольно

Поскольку определить оптимальные степени для обтекаемости сразу не удалось, стало понятно, что наскоком эту задачу не решить и надо быть готовым к затяжному, слегка нудному, но в тоже время интересному поиску.

Для начала создал таблицу (рабочее название – «поляна гипоэллипсоидов Ламе»), предназначенную для записи значений ЛСД (рис. 2):

Рис. 2. Поляна гипоэллипсоидов Ламе

На рис. 3 изображена 3D-модель одного из гипоэллипсоидов «Лабиринта»:

Рис. 3. Гипоэллипсоид Ламе (m=n=1,5; a/b=2π)

В 2018 году кривой Ламе будет 200 лет, а белые пятна в её изучении всё ещё есть, да и опциональные возможности далеко не исчерпаны.