А что это у нас цепная линия до сих пор без констант пребывает?

Пора бы уж, 328 лет как-никак ей!

Первое собственное упоминание о константах кривых, в частности циклоидального овала, было сделано мной в статье «Классификация и идентификация эллипсовидных овальных кривых» (САПР и графика), № 3’2014. В этой статье были определены первые шесть констант циклоидального овала, который позднее получил новое имя – «циклоп» и термин «овал стабильной формы». На страницах isicad.ru опубликовано несколько статей, в которых рассказывалось о его свойствах, константах, фокусах, точности построения и т. д. Вскоре появились новые овалы стабильной формы: циркон, циклон, цитрон…, образовав группу замкнутых овальных кривых стабильной формы.

Обязательным свойством овалов стабильной формы является наличие собственных (внутренних) констант – то есть соотношений размеров только собственных элементов. Эллипс, к примеру, не входит в их число, хотя и имеет константу: площадную контрпрямоугольную (π/4). Константа эта внешняя, собственных у него нет. То же можно сказать про псевдоциклопов (вытянутого или сжатого циклопа) – внешнюю, площадную контрпрямоугольную константу (0,75) циклопа, они сохраняют, собственных же не имеют.

А вот ещё одна кривая, описанная, так же как и циклоида, в 17 веке, – это цепная линия. Есть ли у неё собственные константы? Давайте разберёмся. Кстати, в статье «Цепная линия» в Википедии ничего о константах этой кривой не говорится, правда, там есть оговорка: «Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её».

На рис. 1 изображена цепная линия. Проведём касательную к ней под углом 45°. Из точки касания проведём прямой горизонтальный отрезок до пересечения с осью цепной линии.

Рис. 1.

Обозначим отрезок AB буквой h, отрезок BC буквой b, параметр цепной линии OA – традиционно буквой a, дугу AC буквой c. Измерим эти отрезки и дугу c и определим следующие соотношения:

Это и есть константы цепной линии, которые позволяют назвать эту кривую кривой стабильной формы. Как могут быть использованы эти константы? Первая и вторая константы помогут идентифицировать цепную линию в ряду похожих кривых, а третья – определить параметр цепной линии по измеренной дуге.

Теперь осталось только дополнить статью в Википедии…  

Но это не единственная кривая, которую можно назвать кривой стабильной формы: ещё более древняя кривая – секансоида и совсем молодые – ожерелье окружности и портупея циклопа заслуживают этого, поскольку также имеют подобные собственные константы, кроме (3). Значения этих констант приведены в таблице 1.

Таблица 1

Примечание: Обозначение элементов данных кривых такое же, как у цепной линии.

Следует сказать, что ранее были определены три внешние константы ожерелья окружности совместно с производящей окружностью:

1. Отношение площади, отсекаемой производящей окружностью от ожерелья окружности, к площади производящей окружности:

   S1/Sо = 1/π;

2. Отношение площади, отсекаемой производящей окружностью от ожерелья окружности, к площади квадрата, вписанного в производящую окружность (рис. 2):

   S1/S = 1/2 ;

   

   Рис. 2

3. Отношение длины дуги, отсекаемой производящей окружностью от ожерелья окружности, к длине окружности:

   L1/Lо = 0,34000329….

Метод касательной 45° можно применить и к овалам: он позволяет определить местоположение фокусов 3 категории любых симметричных овалов (альтернатива методу акульих зубов), а также идентифицировать любой из овалов стабильной формы, при этом каждый из них (ОСФ) добавляет в свой актив, по меньшей мере, по две новые константы. В таблице 2 показаны значения констант трёх овалов стабильной формы.

Таблица 2

Примечание: Обозначение элементов овалов такое же, как у цепной линии. Большая ось овалов совпадает с осью ординат.

Краткие выводы

У четырёх кривых линий обнаружены константы и определены их значения. Этим кривым предлагается присвоить статус «кривые стабильной формы». Применённый для этого метод касательной 45° позволяет также находить фокусы 3 категории у овалов и идентифицировать овалы стабильной формы по новым константам.

Благодарю за внимание!

Читательниц isicad.ru поздравляю с Весенним праздником!