Свойства тел Платона, которые трудно предугадать, не построив модели

Описаны ли эти свойства где-либо, неизвестно, во всяком случае, мне они не встречались, а выявлены были в процессе построения 3D-моделей.

При построении моделей этих тел я задался вопросом – насколько будут отличаться по величине описанные вокруг полученных многогранников сферы, при условии, что многоугольники их граней будут вписаны в окружности одного радиуса. Изначально предполагалось, что все описанные сферы будут различны по величине, но это оказалось не совсем так. Самыми большими оказались сферы икосаэдра и додекаэдра, при этом они полностью совпадают по размеру. Другую пару составили сферы гексаэдра и октаэдра, меньшие предыдущих по размеру, но также равные между собой. Самой маленькой оказалась сфера, описанная вокруг тетраэдра, но пары ей, сами понимаете, нет, поскольку шестой правильный многогранник пока ещё никто не придумал…  

На рисунке изображены модели многогранников, у которых описанные окружности граней равны между собой:

1,64727820… – для додекаэдра и икосаэдра;
(√3)/√2 – для октаэдра и гексаэдра;
3/(2√2) – для тетраэдра.

Эти соотношения можно считать константами правильных многогранников, поскольку радиусы описанных сфер одновременно являются расстояниями от центров многогранников до вершин.

Чтобы получить многогранники с равными описанными сферами, достаточно увеличить радиусы описанных окружностей оснований, умножив их значения на следующие коэффициенты:

1,34499702… – для октаэдра и гексаэдра;
1,55306878… – для тетраэдра, при этом не меняя радиусы описанных окружностей оснований додекаэдра и икосаэдра.

Отношения радиусов сфер, вписанных в правильные многогранники, к радиусам описанных окружностей оснований также являются константами, сохраняя парную равность значений, отмеченную выше:

1,30901699… – для додекаэдра и икосаэдра;
(√2)/2 – для октаэдра и гексаэдра;
(√2)/4 – для тетраэдра.

На этом заметку заканчиваю, но при полной уверенности, что ещё не все свойства тел Платона раскрыты! Спасибо за внимание!

P.S. Если кто-то скажет: «Подумаешь, эка невидаль, у тел константы совпали…», того попрошу предложить свой вариант подобного совпадения.