Идентификация одной овальной кривой. Решение задачи, неразрешимой аналитически, с помощью 3D-графика

На рис. 1 изображена замкнутая овальная кривая. Вам не кажется, что эту кривую вы где-то уже встречали? Скажу больше: не только встречали, но многие из вас её ещё и строили, изучая начертательную геометрию. Но назовёте ли вы её имя сразу? Давайте не будем торопиться и сделаем это вместе.

Рис.1

1. Щёлкнув два раза на кривой левой кнопкой мыши, увидим на Панели свойств, что это – кривая Безье. Это сразу исключает коробовые кривые (овалы по сопрягаемым дугам окружности), как гипо-, гипер-, так и гипергипоовалы.

2. Построим по полюсам кривой эллипс, при этом увидим, что он будет описанным по отношению к кривой. Это одновременно исключает её принадлежность ко всем гиперовалам: гиперэллипсу Ламе, овалу Кассини, эквиэллипсу, антиэллипсу, к гипергипоэллипсу Ламе (имеет как точки касания с эллипсом, так и точки пересечения с ним), а также принадлежность к самому эллипсу.

3. Попытаемся найти фокусы кривой, чего нам сделать, в конце концов, не удастся, кривая - бесфокусная. При этом исключаются двухфокусные кривые: овал R-1, циклоп, псевдоциклоп и квазициклоп. То, что это не циклоп, видно и по соотношению размеров осей.

4. Итак, отсеяны тринадцать претендентов и осталось два: это бесфокусный овал R-0 и гипоэллипс Ламе, могущий фокусы иметь, или не иметь. Предположим, что эта кривая – R-0. Напомню, что овал R-0 – это развернутая на плоскости фигура пересечения боковых поверхностей двух круговых цилиндров (рис. 2).

Рис.2

5. Попытаемся определить радиус большого цилиндра, для чего напишем пропорцию:

И тут загвоздка: как выразить R? Никак не получается….

Пойдём другим путём – выразим из этой формулы значение L:

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Итак, идентификация закончена, кривая установлена. При этом был разработан и испытан новый (ли?) метод с использованием 3D-графика.

Следует отметить, что это решение является не чем иным, как решением задачи о нахождении радиуса сегмента круга по хорде и дуге, не решаемой аналитически. По некоторым источникам задачу приписывают Архимеду. Если он решил её (и не такие задачи решал), то явно без помощи 3D-графика и параметризации….

В одной из статей о резервуарных овалах я писал про кривую R-0: «Поскольку применимость ее незначительна, ограничимся лишь определением: плоская гладкая замкнутая эллипсовидная бесфокусная овальная кривая». Сейчас приходится отзывать эту характеристику, как не точную в отношении применимости, поскольку работа с овалом R-0 привела к новому методу решения задачи по определению радиуса кругового сегмента, кроме того, на нем (овале R-0) закрепляли свои навыки тысячи изучающих начертательную геометрию. А применимость, получается, – понятие относительное. Эпиграф в начале статьи, как вы понимаете, посвящён именно этому овалу.

Не утомил ли я вас работой в СК (следственном комитете) по «геометрическим» делам?