¬аше окно в мир —јѕ–
 
Ќовости —татьи јвторы —обыти€ ¬акансии Ёнциклопеди€ –екламодател€м
—татьи

20 феврал€ 2015

ѕараболический ли купол »саакиевского собора?

¬иктор „ебыкин

ќт редакции isicad.ru: ¬иктор √еннадьевич „ебыкин в 1974 году окончил ”ральский политехнический институт. »нженер-металлург. ≈го общий инженерный стаж Ц 38 лет, в том числе, конструкторский Ц 19. — 2013 года на пенсии.
¬иктор „ебыкин

ќгромный опыт, широка€ компетенци€ и творческий характер дают возможность ¬.√. „ебыкину передать много полезного нынешним, в том числе, молодым инженерам и разработчикам. ¬ научно-технических журналах им опубликовано 15 статей, в числе которых написанные в оригинальном жанре геометрических очерков-миниатюр. Ќесколько таких миниатюр св€зано с именем √абриэл€ Ћаме, французского математика, механика, физика и инженера, 220 лет со дн€ рождени€ которого исполн€етс€ 22 июл€ этого года. —егодн€, с любезного разрешени€ автора, мы публикуем некоторые из этих очерков.

—огласно справке из ¬икипедии, √абрие́ль Ћаме́ (фр. Gabriel Lamé; 1795 Ч1870) Ч член ѕарижской и ѕетербургской академий, в 1820Ч1832 работал в »нституте корпуса инженеров путей сообщени€ в ѕетербурге. ќсновные труды по математической физике и теории упругости. –азработал (1833) общую теорию криволинейных координат, ввЄл (1859) т. н. коэффициенты Ћаме и специальный класс функций (1839, функции Ћаме). “акже в честь него названы параметры Ћаме в теории упругости.

√абриэль Ћаме

I. ѕараболический ли купол »саакиевского собора?

¬ 1820 году √абриель Ћаме прибыл в –оссию по приглашению дл€ осуществлени€ преподавательской де€тельности.  роме преподавани€ его, как известного инженера и математика, также привлекли к проектированию железных дорог, мостов, и Е расчетам купола »саакиевского собора.  аков был состав группы по проектированию купола мне неизвестно, но руководил ей, надо полагать, главный архитектор сооружени€ ќгюст ћонферран.

»з многочисленных литературных источников можно было почерпнуть сведени€ о конструкции купола »саакиевского собора, в частности то, что состоит он из трех куполов: внутреннего Ц близкого к сферическому; среднего Ц конусного; и наружного Ц параболического.

–азрабатыва€ ранее так называемые Ђрезервуарныеї овалы, мне пришлось изучить поглубже (не просто знать формулу) кривые Ћаме. ¬ частности было замечено, что при определенных значени€х степеней в формуле, крива€ приобретала свойства параболы. Ќе потому ли купол у собора получилс€ параболическим, что над ним работал и √абриель Ћаме?

«агорелось проверить эту версию, уловить степень участи€ Ћаме в проекте, да и просто поближе познакомитьс€ с конструкцией купола. “ем более что над конструкцией куполов мне приходилось работать (купола резервуаров), но не будем Ђпутать свою шерсть с общественнойї.

»саакий парабола „ебыкин

¬ интернете разыскал чертеж купола собора, построил нужную (параболическую) кривую Ћаме, отмасштабировал ее до масштаба чертежа и вставил в нужное место. √еометри€ оказалась совсем не та, что на чертеже. ѕыталс€ вписать в контур и другие параболы, мен€л расположение осей парабол Ц все безуспешно. ѕо мере наложени€ на контур разных кривых вы€снил, что наиболее близкую форму имеет эллипс с соотношением осей 1,02 (на чертеже не показан) и крива€ Ћаме с тем же соотношением осей и степен€ми, равными 1,98 (син€€ лини€). “о, что это не сфера, доказывает окружность (красного цвета). ’от€ показанна€ крива€ Ћаме несколько ближе к контуру купола, чем эллипс, не думаю, что Ћаме добилс€ уступки 0,02 в степен€х от эллипса дл€ того, чтобы засвидетельствовать факт применени€ своей кривой. ¬озможно это все-таки эллипс, но вкралась погрешность чертежа или его копий.

¬ любом случае, учитыва€ тот факт, что эллипс - одна из форм кривой Ћаме, и то, что Ћаме поучаствовал в создании собора, честь ему и хвала! Ёто лепесток цветка из всего букета его таланта!


P.S. ѕозднее € усомнилс€ не только в параболичности купола, но и в том, что он €вл€етс€ эллипсоидом или гипоэллипсоидом Ћаме, поэтому решил ещЄ раз посмотреть литературу по этому вопросу. ¬ интернете нашЄл книгу “олмачевой Ќ.». Ђ»саакиевский соборї, год издани€ 2003, где на стр. 30-33 говоритс€ о параболической форме третьего (внешнего) свода, а на стр. 34 читаю: Ђ÷ентральный купол собора имеет сферическую форму. Ёто придает кафедральному храму не только спокойно-величавый силуэт, но и Еї. јвтор книги, получаетс€, противоречит сама себе. Ќу а купол всЄ-таки, скорее всего Ц сферический, несмотр€ на мои измерени€, наложени€ и предположени€ї.

II. ќвалы и их применение в инженерной практике

Ёта заметка под названием Ђј не замахнутьс€ ли нам на √абриел€ нашего Ћаме?ї была впервые опубликована в журнале Ђ—јѕ– и графикаї, N8, 2013.

 ак известно, овалы (франц., единственное число ovale, от лат. ovum Ц €йцо) Ц это замкнутые выпуклые плоские кривые; при этом, под выпуклостью понимают свойство кривой иметь с любой пр€мой не более двух (действительных) общих точек. Ќиже, на рис. 1 изображены шесть овальных кривых, на первый взгл€д, очень похожих между собой (за исключением 1е), но, на самом деле, обладающих разными специфическими свойствами, которые оказываютс€ решающими в р€де важным промышленных применений. ѕервые три кривые (а, б, в) относ€тс€ к видам овалов, которые можно назвать классическими; остальные (г, д, е) были введены автором данной заметки дл€ решени€ некоторых практических инженерных задач.

ќвалы

–ис. 1

Ёллипс

Ёту кривую (рис. 1а) знают практически все. ѕервые упоминани€ о нем датируютс€ несколькими веками до н. э. √лавные свойства эллипса: крива€ имеет два фокуса; все лучи, исход€щие из одного фокуса, отража€сь от кривой, собираютс€ во втором фокусе и наоборот; сумма отрезков от любой точки кривой до фокусов есть величина посто€нна€. «начение эллипса трудно переоценить Ц его геометрию и свойства использует как природа, так и человек.
Ёллипс

ќвал  ассини

≈ще одну кривую (рис. 1б) предложил астроном ƒжованни  ассини в 17 веке. ќн полагал, что именно по такой траектории движутс€ планеты —олнечной системы, в чем, как вы€снилось, заблуждалс€.
 ассини

ќвал  ассини Ц геометрическое место точек, произведение рассто€ний от которых до фокусов посто€нно. —войства кривой: овал  ассини не всегда имеет эллипсовидную форму и может трансформироватьс€ в точки, совпадающими с фокусами; в два €йцевидных овала; в лемнискату; в окружностьЕ —войства кривой в диапазоне овалов: наличие двух основных фокусов F1 и F2, а также трех дополнительных фокусов F3, F4, F5, один из которых совпадает с центром кривой. ƒве пары лучей, исход€щих из фокусов F3 и F4, отраженные от кривой, проход€т через центр F5, и, после второго отражени€ от кривой, попадают в противоположные фокусы. “аких дополнительных фокусов больше нет ни у одной из описываемых в статье кривых.

»звестно использование овалов  ассини в теории упругости, в конструкци€х антенн, установлено геометрическое подобие овалов с формой силовых линий некоторых электромагнитных полейЕ

 рива€ Ћаме

»зображена выше на рис. 1в. ѕредложена √абриелем Ћаме.

‘ормула этой кривой, иногда называемой суперэллипсом:

ќвалы формула 1

‘ормула на вид проста, но при изменении параметров, крива€ может кардинально мен€ть свою форму (рассматриваем только эллипсовидные формы овала). ¬ отличие от овала  ассини, крива€ всегда непрерывна. ≈ще одно свойство кривой: при разных сочетани€х m, n, a, b она может иметь два фокуса, четыре, или не иметь их вообще. Ёто свойство наблюдалось в диапазоне значений степеней n и m от 1,5 до 2.

 рива€ Ћаме (суперэллипс) широко используетс€, например, в архитектуре (см. рисунок ниже), в дизайне мебели и др.

—уперэллипс стадион јцтека —уперэллипс площадь в —токгольме

«наменитые суперэллипсы: стадион јцтека в ћехико и площадь в —токгольме

—ледующие три овальные кривые не вход€т в линейку известных, но, поскольку имеют €вное практическое значение (применение) и р€д собственных характерных свойств, так же заслуживают упоминани€ (крива€ R-0) или описани€ и сравнени€ с известными (кривые R-1 и R-2). √еометри€ кривых определена с помощью 3-мерных сборок: обечайка-люк, выполненных в  ќћѕј—-3D.

 рива€ R-0

ќвальна€ крива€ R-0 (рис. 1г) получена в результате развЄртывани€ на плоскость фигуры пересечени€ поверхностей двух круглых цилиндров. ѕоскольку применимость ее незначительна, ограничимс€ лишь определением: плоска€ гладка€ замкнута€ эллипсовидна€ бесфокусна€ овальна€ крива€.

 рива€ R-1 (резервуарный овал 1 рода)

 рива€ R-1 (рис. 1д и рис. 2 ниже) впервые предложена и описана автором в статье Ђ¬резка люков в обечайки резервуаров, соединени€ с минимальными (гарантированными) зазорами. Ќовые виды овальных кривых Ц Ђрезервуарныеї овалы. —правочник. »нженерный журнал. 2012. є 11. —. 31-33ї.
ќвал R-1

–ис. 2

Ёто плоска€ гладка€ замкнута€ эллипсовидна€ двухфокусна€ овальна€ крива€. ќна получена в результате разворачивани€ на плоскость фигуры пересечени€ круглого цилиндрического люка (патрубка) с круглой цилиндрической обечайкой толщиной S>0, с учетом гарантированного зазора и определ€ет геометрию отверсти€ в обечайке. Ћюк установлен перпендикул€рно продольной оси резервуара без смещени€ от нее. Ѕольша€ схожесть кривой R-1 с кривой Ћаме (рис. 1в) не случайна. јвтор пыталс€ подогнать кривую Ћаме к кривой R-1 методом последовательного приближени€. ѕопытка не удалась Ц кривые не сходились, кроме того, имели разное количество фокусов. ¬ывод: крива€ R-1 не €вл€етс€ частным случаем кривой Ћаме.

ќдним из важных свойств овальных кривых R-1 €вл€етс€ наличие двух (и только двух) фокусов во всем возможном диапазоне сочетаний параметров: диаметр обечайки Ц диаметр люка Ц толщина обечайки Ц гарантированный зазор. Ђ√уттаперчева€ї крива€ Ћаме таким свойством не обладает, обраща€сь с фокусами более вольно.

‘окусы кривой R-1 могут обмен€тьс€ между собой восемью парами лучей, отраженных от кривой и парой пр€мых лучей. ” эллипса, как известно, все лучи от одного фокуса собираютс€ в противоположном.

ќвал R-1 обладает еще одним свойством: вышеупом€нутые лучи дел€т кривую овала на 8 частей. “очки падени€ этих лучей на кривую €вл€ютс€ характерными точками, в которых мен€етс€ знак роста суммы пары отрезков от точки кривой до фокусов на противоположный (см. рис. 2). »нтервалы кривой с положительными и отрицательными знаками чередуютс€. ” эллипса, как известно, сумма отрезков от любой точки контура до фокусов есть величина посто€нна€.

Ќиже приведены формулы дл€ определени€ большой и малой осей этой овальной кривой (все формулы в статье выведены автором):

ќвалы формула 2 3

 рива€ R-2 (резервуарный овал 2 рода)

Ёта крива€ (рис. 1е и ниже Ч рис.3, рис. 4) также предложена и описана в моей вышеупом€нутой статье в Ђ»нженерном журналеї.
ќвалы рис 3 ќвалы рис 4

–ис. 3 и –ис. 4

R-2 Ч плоска€ замкнута€ €йцевидна€ шестифокусна€ овальна€ крива€. ќна получена в результате разворачивани€ на плоскость фигуры пересечени€ круглого цилиндрического люка (патрубка) с круглой цилиндрической обечайкой резервуара с толщиной стенки S>0 с учетом гарантированного зазора и определ€ет геометрию отверсти€ в обечайке. ќсь люка перпендикул€рна продольной оси резервуара. Ћюк установлен со смещением от этой оси.

ќвал R-2 имеет €йцевидную форму. ≈го характерным свойством €вл€етс€ наличие шести фокусов (см. рис. 3). Ўесть лучей, выпущенные из фокуса F1, отраженные от кривой, собираютс€ в противоположном ему фокусе F3 и наоборот, фокусы F2 и F4 св€заны между собой п€тью парами отраженных лучей, пары фокусов F1 - F5 и F2 Ц F6 могут обмен€тьс€ между собой только четырьм€ парами отраженных лучей.

—умма отрезков, соедин€ющих точки на кривой с фокусами F1 и F2 не посто€нна и растет по мере отдалени€ от полюса H к полюсу C (см. рис. 4). —умма отрезков, соедин€ющих точки на кривой с фокусами F1 и F3 не посто€нна и имеет смену знака роста в характерных точках A, B, — D, E, H. —умма отрезков, соедин€ющих точки на кривой с фокусами F2 и F4 также не посто€нна и имеет смену знака роста в точках A, C, E, G, H, K.

≈ще одно свойство: точки A и E €вл€ютс€ точками перелома кривой, в св€зи с чем, крива€ не относитс€ к гладким.

”казанными свойствами крива€ отличаетс€ как от R-1, так и от эллипса.

–азмеры осей овальной кривой R-2 можно определить по формулам:

ќвалы формула 4

ѕроверка геометрии полученных кривых в 3D-моделлере выполн€лась следующим образом. Ќа 3D-модели обечайки в развернутом состо€нии вырезали по полученной кривой отверстие, после чего обечайку сворачивали в круговой цилиндр и соедин€ли с моделью люка. ƒалее с этой 3D-сборки создавалс€ чертеж Ц вид сверху, на котором проводились измерени€. –езультат проверки следующий Ц отклонение от заданного гарантированного зазора не превышало нескольких сотых миллиметра (крива€ была выполнена сплайном по 40 точкам). ѕри увеличении количества опорных точек точность построени€ возрастает.

ѕредложенные автором кривые были проверены и непосредственно при разработке и изготовлении резервуаров, где они показали свою состо€тельность. — использованием овальных кривых R-1 и R-2 изготовлены уже несколько сотен резервуаров, при этом, ни одного случа€ плохой стыковки обечайки с люком не зафиксировано, что окончательно доказывает правильность их геометрии. Ќа рис. 5 показан один из резервуаров, конструкци€ которого выполнена с использованием кривой R-1.

ќвалы резервуар

–ис. 5

–езультатом работы, изложенной в данной заметке, €вл€етс€ расширение линейки известных овальных кривых: предложены и описаны Ђрезервуарныеї овалы 1 и 2 рода (овальные кривые R-1 и R-2), назначение которых определ€етс€ объедин€ющим их термином.

III.  рива€ Ћаме Ц геометрический хамелеон

¬ первых двух част€х данной публикации уже были отмечены важные и интересные работы √абриэл€ Ћаме Ц в том числе, была представлена крива€ Ћаме. ¬ этой заметке € покажу, насколько многообразны воплощени€ этой кривой при задании тех или иных еЄ конкретных параметров.

»звестно, что крива€ Ћаме при степен€х 0,5 и равных между собой ос€х имеет форму четырЄхконечной звезды с вогнутыми параболическими сторонами (рис. 1б). Ќо таких параболических звЄзд при желании можно построить множество и форма их будет зависеть от отношени€ радиуса вершин к фокальному параметру параболы. ¬ отличие от астроиды, также четырЄхконечной равноосной звезды, эти кривые не имеют своего имени. »справим это недоразумение и назовЄм их тетрапарабоидами.

ѕеременна€ тетрапарабоиды (w) Ц величина равна€ отношению радиуса вершин к фокальному параметру парабол, образующих кривую. ќбласть изменени€ этой переменной: 0 < w ≤ √2.

—ледует отметить, что только одна из тетрапарабоид совпадает по геометрии с кривой Ћаме, та, у которой переменна€ w = √2. Ќазовем еЄ тетрапарабоидой Ћаме.

јналогично можно поступить и с равноосной фигурой, состо€щей из двух парабол (рис. 1и), назвав еЄ бипарабоидой или бипарабоидой Ћаме.

ѕосто€нна€ равноосной бипарабоиды (k) =2, величина равна€ отношению полуоси кривой к фокальному параметру парабол, образующих кривую.

ƒалее по тексту будут предложены ещЄ несколько терминов, относ€щихс€ к диапазонам кривой Ћаме.

»звестны несколько кривых, мен€ющих свою форму при изменении параметров. ќдни мен€ют только размеры, другие Ц и размеры и конфигурацию (форму). Ќаиболее известной в этом отношении кривой €вл€етс€ овал  ассини, который упоминалс€ во втором разделе данной публикации. ѕри изменении отношени€ параметра с (половина рассто€ни€ между фокусами) к параметру a (произведение рассто€ний от фокусов до любой точки кривой) овал  ассини может иметь форму: окружности; овала; выпукло-вогнутой кривой; лемнискаты; двух €йцевидных овалов; двух точек.

 ривые Ћаме формы

–ис. 1. ‘ормы кривых Ћаме

 рива€ Ћаме по способности к перевоплощению не уступает овалу  ассини, в чем можно убедитьс€, просматрива€ фигуры на приведЄнном выше рисунке, где изображены кривые Ћаме при полуос€х a=b:

1а - допараболический диапазон кривых Ћаме;

1б Ц степени m=n=0,5 Ц тетрапарабоида Ћаме; без рисунка Ц постпараболический диапазон;

1в Ц m=n=2/3 Ц астроида;

1г, 1д Ц постастроидный диапазон;

1е Ц m=n=1 Ц квадрат;

1ж, 1з Ц постквадратный диапазон;

1и Ц m=1, n=2 Ц бипарабоида Ћаме;

1к Ц диапазон гипоокружностей;

1л Ц m=n=2 Ц окружность; 1м Ц диапазон гиперокружностей;

без рисунка - m>2, n<2 Ц диапазон гипергипоокружностей;

1н Ц m=n=∞ - квадрат.

∆елтым цветом показаны формы кривой, когда она совпадает с другими видами кривых, синим Ц оригинальные формы.

 ак видим, крива€ Ћаме по мере изменени€ степеней совпадает по форме с параболой и квадратом дважды, а с окружностью и астроидой по одному разу. ѕопытки найти совпадение кривой с окружностью в диапазоне между параболой и астроидой (диапазон степеней 1/2 - 2/3) закончились неудачей Ц кривые сближались, но полного совпадени€ их формы не случилось. «агадка?!

ƒиапазон кривой Ћаме расшир€етс€, если а ≠ b. “ак по€вл€ютс€ выт€нутые тетра- и бипарабоиды, выт€нута€ астроида, ромб, эллипс, гипо-, гипер- и гипергипоэллипсы, пр€моугольник, ну и выт€нутые диапазонные кривые Ћаме.

≈щЄ одно свойство кривой Ћаме (касаетс€ диапазонов гипо- и гиперэллипсов) Ц это способность иметь разное количество фокусов при изменении параметров a, b, m и n. ќб этом свойстве говорилось в предыдущем разделе этой серии заметок: благодар€ этому свойству крива€ Ћаме была названа Ђгуттаперчевойї кривой.


¬от такую замечательную и загадочную кривую придумал в 1818 году √абриэль Ћаме!

IV. ‘окусы и другие загадки кривой Ћаме

ѕродолжим изучение кривой Ћаме, в частности, попробуем ответить на вопрос: достаточно ли полно и разносторонне используетс€ эта замечательна€ крива€.

‘окусы кривой

–ечь идет о фокусах в диапазонах гипо- и гиперэллипсов Ћаме, о которых шла речь в предыдущих разделах данной статьи.

‘окус Ц термин многозначный. ¬от некоторые значени€ этого слова из ¬икипедии:

  • ‘окус Ц точка в оптической системе;
  • ‘окус Ц номер иллюзиониста, демонстрирующий необъ€снимый эффект, Ђчудої.
  • ‘окус кривой (или поверхности) Ц в геометрии: точка, дл€ которой выполн€етс€ определЄнное соотношение со всеми точками кривой (поверхности). ¬ частности, фокус конического сечени€.
‘акт наличи€ (или отсутстви€) геометрических (оптических) фокусов у кривой Ћаме установлен автором при разработке и исследовании Ђрезервуарногої овала R-1 и сравнении его с другими овалами (см. выше). ќвал R-1, независимо от параметров резервуара, всегда имеет два фокуса. ¬ отличие от него, гипо- и гиперэллипсы Ћаме могут иметь и два, и четыре фокуса, или не иметь их вообще (рис. 1):
„ебыкин март 1 новый

–ис.1. √ипо- и гиперэллипсы Ћаме: а) гипоэллипс (бесфокусный); б) гипоэллипс (4 фокуса); в) гиперэллипс (4 фокуса)

«на€ параметры кривой Ћаме можно мысленно представить еЄ форму, а вот число фокусов и их расположение можно определить только после построени€. » пока не будут вы€снены причины и услови€ по€влени€ и исчезновени€ этих фокусов (по крайней мере, мне это не удалось сделать), кривую Ћаме можно считать Ђиллюзионистомї, демонстрирующим необъ€снимое. “ак что, пока это Ц предмет дл€ дальнейшего изучени€.

Ћјбиринт Ћјме

≈щЄ одно из малоизученных свойств этой кривой касаетс€ обтекаемости гипоэллипсоидов (пон€тно, что гиперэллипсоиды им здесь не конкуренты). Ёто уже аэродинамика (гидродинамика), в которых обтекаемость Ч одна из самых важных характеристик. ј крива€ Ћаме, как вы€сн€етс€, обладает очень неплохими указанными свойствами, благодар€ которым по€вл€етс€ возможность еЄ нового применени€.

ћожно ли визуально оценить обтекаемость того или иного тела вращени€? ћожно, если сравнивать тела с существенной разницей в геометрии. ј выбрать наиболее обтекаемую форму из близких и похожих? ƒумаю, что это маловеро€тно. —может ли кто-нибудь назвать степени в формуле Ћаме, благодар€ которым гипоэллипсоид будет самым обтекаемым?

я этого не смог сделать, поэтому решил, кроме создани€ 3D-моделей гипоэллипсоидов, ещЄ и посчитать их лобовое сопротивление давлени€ (Ћ—ƒ). ’от€ это сопротивление €вл€етс€ частью полного сопротивлени€ движущегос€ тела в воздушной или водной среде, дл€ предварительной оценки обтекаемости оно может быть достаточным. ƒл€ получени€ более точных расчетов Ћ—ƒ лобова€ часть моделей делилась на 12 частей. Ћ—ƒ головной части из-за большой кривизны считалось отдельно.

—оздаваемые модели гипоэллипсоидов, разумеетс€, имели одинаковые длину и площадь мидел€. —оотношение осей a/b=2π выбрано произвольно

ѕоскольку определить оптимальные степени дл€ обтекаемости сразу не удалось, стало пон€тно, что наскоком эту задачу не решить и надо быть готовым к зат€жному, слегка нудному, но в тоже врем€ интересному поиску.

ƒл€ начала создал таблицу (рабочее название Ц Ђпол€на гипоэллипсоидов Ћамеї), предназначенную дл€ записи значений Ћ—ƒ (рис. 2):

„ебыкин март 2

–ис. 2. ѕол€на гипоэллипсоидов Ћаме

—очетание степеней в формуле кривой вначале выбирал произвольно, вразброс, как это делаетс€ в известной игре Ђћорской бойї. ¬ ходе поиска постепенно вырисовывалась Ђобласть залегани€ї наиболее обтекаемых гипоэллипсоидов, поэтому выбор сочетани€ степеней стал более прицельным. Ћинейка гипоэллипсоидов по убыванию Ћ—ƒ, котора€ прогнозировалась как пр€ма€ лини€, оказалась зигзагообразной и названа ЂЋабиринтом Ћамеї (на рисунке выделена желтым цветом). ќригинальна€ закономерность, которую трудно было бы предугадать, не правда ли?

Ќа рис. 3 изображена 3D-модель одного из гипоэллипсоидов ЂЋабиринтаї:

„ебыкин март 3

–ис. 3. √ипоэллипсоид Ћаме (m=n=1,5; a/b=2π)

¬сего было создано и обсчитано (Ћ—ƒ) около тридцати моделей гипоэллипсоидов и, надо сказать, потрачено на это немалое количество времени, но общей картины Ђпол€ны Ћамеї они всЄ-таки не дают. ƒл€ этого надо заполн€ть таблицу до конца. ’орошо бы автоматизировать процесс создани€ моделей и расчет Ћ—ƒ. ¬озьметс€ ли за это кто-либо, например Ћедас? ¬едь смогут, если захот€тЕ!

¬ 2018 году кривой Ћаме будет 200 лет, а белые п€тна в еЄ изучении всЄ ещЄ есть, да и опциональные возможности далеко не исчерпаны.


„итайте также:


¬акансии:

јктуальное обсуждение

RSS-лента комментариев

-->

ƒавид Ћевин
ƒавид Ћевин
ќт редактора: ÷ифровой тройник
ѕроект ЂЌародное —јѕ–-интервьюї

—лучайна€ стать€:

isicad Top 10

—амые попул€рные материалы

   ‘орумы isicad:

isicad-2010 isicad-2008
isicad-2006 isicad-2004

ќ проекте

ѕриглашаем публиковать на сайте isicad.ru новости и пресс-релизы о новых решени€х и продуктах, о проводимых меропри€ти€х и другую информацию. јдрес дл€ корреспонденции - info@isicad.ru

ѕроект isicad нацелен на

  • укрепление контактов между разработчиками, поставщиками и потребител€ми промышленных решений в област€х PLM и ERP...
ѕодробнее

»нформаци€ дл€ рекламодателей


¬се права защищены. © 2004-2019 √руппа компаний «Ћ≈ƒј—»

ѕерепечатка материалов сайта допускаетс€ с согласи€ редакции, ссылка на isicad.ru об€зательна.
¬ы можете обратитьс€ к нам по адресу info@isicad.ru.