¬аше окно в мир —јѕ–
 
Ќовости —татьи јвторы —обыти€ ¬акансии Ёнциклопеди€ –екламодател€м
—татьи

10 июл€ 2019

јнтипризмы и тела ѕлатона Ц только они решают задачу “омсона дл€ чЄтных N в диапазоне от 4 до 20

¬иктор „ебыкин

¬иктор „ебыкин

Ќе умею и не люблю писать большие статьи, равно как и читать такие, за редким исключением. ¬от и эта заметка будет не длинной Ц это краткое сообщение, дополн€ющее материал предыдущей заметки о задаче “омсона.

Ѕудет продолжение или нет, не сразу было решено. Ќо в данном случае отказатьс€ от продолжени€ исследовани€ означало бы бросить начатое на половине пути и не узнать, а что там при N = 10 и после N = 12, Ц этого € не мог себе позволить.

Ќачну с удивлени€ тому факту, что правильный додекаэдр до сих пор не считалс€ решением задачи “омсона или, возможно, что такое решение не было доказано. Ќо какие нужны доказательства? ћногогранник имеет 20 вершин, равномерно разнесЄнных по поверхности описанной сферы Ц рЄбра, сход€щиес€ в вершинах, имеют одинаковую длину.  роме того, из всех многогранников, имеющих 20 вершин, додекаэдр обладает максимальным значением отношени€ своего объЄма к объЄму, ограниченному описанной сферой (0,664760Е).

»так, по моему мнению, решени€ми задачи “омсона €вл€ютс€ четыре тела ѕлатона: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. ќни €вл€ютс€ экстремальными в смысле максимального разнесени€ вершин на сфере дл€ N = 4, 6, 12 и 20.

–езонно возникает вопрос: а какие многогранники €вл€ютс€ экстремальными дл€ остальных N в диапазоне от 6 до 20?

¬ упом€нутой выше заметке определЄн такой многогранник дл€ N = 8, это Ц проста€ квадратна€ антипризма. ¬ы€снилось также, что октаэдр одновременно €вл€етс€ треугольной антипризмой. Ёто позвол€ет предположить возможность существовани€ антипризм, €вл€ющихс€ экстремальными многогранниками и дл€ других значений N.

ƒл€ проверки этого предположени€ были построены 3D-модели многогранников с N = 10 и 14 в форме простых п€тиугольной и семиугольной антипризм, с отношением высоты к радиусу описанной окружности основани€, равным √2. Ёто значение гарантирует максимальный объЄм антипризмы, вписанной в сферу.

ƒл€ реализации Ђћетода соотношений объЄмовї, который впервые был использован дл€ определени€ экстремального многогранника с N = 8, рассчитан объЄм описанной сферы по формуле:

V = 4/3 π (√(3r^2/2))^3,

где r Ц радиус описанной окружности основани€ антипризмы.

ќбъЄм антипризмы бралс€ из ћ÷’ соответствующей модели.

ѕолученные значени€ объЄмов антипризм с N = 10 и N = 14 были сравнены с аналогичными значени€ми дл€ других многогранников с теми же N. –езультаты сравнени€ подтвердили предположение Ц эти антипризмы €вл€ютс€ экстремальными многогранниками.

Ќа рис. 1, показанном ниже, приведены графики отношений объЄмов многогранник/сфера дл€ экстремальных многогранников: тел ѕлатона и антипризм.

задача “омсона дл€ чЄтных N

–ис. 1

»з рисунка видно, что тела ѕлатона выигрывают там, где они есть, антипризмы же одерживают верх при остальных чЄтных значени€х N.

ћодели антипризм были построены дл€ N = 6, 8, 10 и 14. ƒл€ N = 16, 18 и далее модели не строились, поскольку есть уверенность, что антипризмы и там будут побеждать. ќднако их предел Ц 0,577350Е. Ёто максимальное по величине отношение объЄмов цилиндра и описанной сферы.

–езультаты расчЄтов отношений объЄмов экстремальных многогранников к объЄмам описанных сфер приведены в таблице ниже.

задача “омсона дл€ чЄтных N

—войства, характерные дл€ всех экстремальных многогранников:
  • ¬се перечисленные многогранники выпуклые.
  • ¬се их вершины лежат на поверхности описанных сфер.
  •  оличество рЄбер, сход€щихс€ в каждой вершине любого такого многогранника, одинаково.
  • ќдинакова и суммарна€ длина этих рЄбер.
  • —уммарна€ длина св€зей любой вершины с остальными вершинами многогранника есть величина посто€нна€.
  • ћногогранники занимают максимальный (дл€ данного N) объЄм в описанных сферах.


¬ заключение хочу подчеркнуть, что других многогранников с чЄтными N в качестве экстремальных в этом диапазоне не наблюдалось. »х нет, или € плохо вижу со своей Ђнизкой каланчиї? 

Ќа этом € хотел закончить свои изыскани€ решений задачи, но, просматрива€ в очередной раз материалы по задаче “омсона, увидел в »нтернете статью Ћ.ј.  озинкина Ђћетод пр€мого статистического моделировани€ в задаче “омсонаї. ќпубликована она в Ђ¬естнике —ибирского государственного аэрокосмического университета им. ћ.‘. –ешетнЄваї (предположительно в 2010 году). ¬от еЄ аннотаци€: Ђѕредставлены минимальные и равновесные конфигурации систем зар€дов на сфере, найденные с помощью метода ћонте- арло. ѕриведЄн анализ впервые полученных в ходе работы результатовї.

Ќачал читать статью, а там автор упоминает какие-то ѕќ незнакомые, не говор€ уже о методах мудрЄных. Ќу, думаю, зр€ € полез в эту тему, не с моим уровнем с этим всем разбиратьс€. ѕредположил, что заметку свою с Ђпримитивнымї методом соотношений объЄмов в лучшем случае придЄтс€ переделывать, а то и в корзину еЄЕ, по параболической траектории .

„итаю дальше, дохожу до результатов. ќбратил внимание на то, что решаютс€ все варианты подр€д, в том числе с нечЄтными N Ц круто, на первый взгл€д, но немного подозрительно.  стати, к нечЄтным N € даже подступатьс€ не собиралс€, бо€сь потерпеть фиаско.

ƒошЄл до N = 10, иЕ неужели ошибка?!

ѕриведу результаты исследований из статьи, начина€ с N = 10 до N = 20, опуска€ нечЄтные N:

10 ƒва зар€да на полюсах, остальные зар€ды образуют антипризму, равноудаленную основани€ми от полюсов
12 ѕравильный икосаэдр
14 ƒва зар€да на полюсах, остальные образуют шестиугольную антипризму с основани€ми, равноудаленными от полюсов
16 –авновесна€ конфигураци€ с антипризматическими основани€ми северного и южного полюсов
18 јнтипризматически расположенные правильные пирамиды с квадратом в основании и одинаково ориентированные пирамиды с неправильными одинаковыми пр€моугольниками
20 Ѕолее устойчива€, чем додекаэдр, конфигураци€

ƒл€ того чтобы оценить конфигурацию дл€ N = 10, предложенную Ћ.  озинкиным, была построена модель такого многогранника. ѕрактически это выполнено было так: к основани€м простой квадратной антипризмы (а это Ц решение дл€ N = 8) были приклеены две четырЄхугольные пирамиды нужной высоты (рис. 2а). Ќа этом же рисунке показана модель п€тиугольной антипризмы Ц конкурента по решению задачи (рис. 2б).

задача “омсона дл€ чЄтных N

–ис. 2

ƒалее найдено отношение: объЄм многогранника/объЄм описанной сферы: 0,469049Е.  ак видим, это значение хот€ и немного, но уступает аналогичному значению п€тиугольной антипризмы (см. табл. выше).

Ќо это Ц не главна€ причина отказатьс€ признать этот многогранник экстремальным, а соответствующую систему Ц равновесной. ќбратите внимание на рЄбра пол€рных и остальных вершин. ” первых вершин их по четыре, у остальных Ц по п€ть, а суммарна€ длина рЄбер, сход€щихс€ в тех и других, разнитс€ почти в два раза. “ут ни о каком равновесии системы и равномерности разнесени€ вершин речи быть не может. Ќе поможет также использование в качестве базы многогранника однородной антипризмы (по примеру икосаэдра), поскольку рЄбер пол€рным вершинам это не добавл€ет. ѕоэтому однозначно: экстремальный многогранник дл€ N = 10 Ц п€тиугольна€ антипризма.

 онфигурацию из 14 точек автор предлагает строить аналогично, только уже на базе шестиугольной антипризмы и двух точек на полюсах. Ётот многогранник будет таким же ущербным, как и предыдущий, по тем же причинам, с той лишь разницей, что у пол€рных вершин окажутс€ лишние рЄбра. —троить такую модель не имеет смысла.

 онфигурации дл€ N = 16 и 18 описаны туманно, с какими-то непон€тными антипризматическими основани€ми, что не позвол€ет представить модели и построить их.

ѕоследний результат приведЄнной статьи дл€ N = 20 не раскрывает сути: непон€тно, что это за конфигураци€ Ц более устойчива€, чем додекаэдр?

»так, переделывать заметку не придЄтс€, и € по-прежнему считаю простые антипризмы экстремальными многогранниками дл€ N = 6, 8, 10, 14 и т. д. ј метод соотношений объЄмов оказалс€ совсем не плохим, не Ђћонте- арлої, конечноЕ 

¬от такое отступление получилось в св€зи с почти случайным (но полезным) прочтением этой статьи.

«акончу заметку словами из песни ¬. ¬ысоцкого:

ћы антиподы, мы здесь живЄм,
” нас тут анти, анти, антиординаты,
—тоим на п€тках твЄрдо мы и на своЄм,
 то не на п€тках, те антип€ты.


Ѕлагодарю за внимание!


„итайте также:


¬акансии:

јктуальное обсуждение

RSS-лента комментариев

ƒавид Ћевин
ƒавид Ћевин
ќт редактора: ƒл€ реального внедрени€ »», облаков, BIM и любых инноваций требуетс€ посто€нна€ всеобща€ коррекци€ менталитета
ѕроект ЂЌародное —јѕ–-интервьюї

—лучайна€ стать€:

ƒев€ть причин поехать на Autodesk University Russia 2019  — ≈катерина ќхматовска€ (29 августа 2019)
isicad Top 10

—амые попул€рные материалы

   ‘орумы isicad:

isicad-2010 isicad-2008
isicad-2006 isicad-2004

ќ проекте

ѕриглашаем публиковать на сайте isicad.ru новости и пресс-релизы о новых решени€х и продуктах, о проводимых меропри€ти€х и другую информацию. јдрес дл€ корреспонденции - info@isicad.ru

ѕроект isicad нацелен на

  • укрепление контактов между разработчиками, поставщиками и потребител€ми промышленных решений в област€х PLM и ERP...
ѕодробнее

»нформаци€ дл€ рекламодателей


¬се права защищены. © 2004-2019 √руппа компаний «Ћ≈ƒј—»

ѕерепечатка материалов сайта допускаетс€ с согласи€ редакции, ссылка на isicad.ru об€зательна.
¬ы можете обратитьс€ к нам по адресу info@isicad.ru.