¬аше окно в мир —јѕ–
 
Ќовости —татьи јвторы —обыти€ ¬акансии Ёнциклопеди€ –екламодател€м
—татьи

9 июл€ 2018

Siemens PLM Software моделирует аэродинамику штрафного удара  риштиану –оналду

PrashanthS, пользователь решений компании Siemens

PrashanthS

Ёта публикаци€ Ц перевод блог-поста автора ЂExplaining the aerodynamics behind Cristiano RonaldoТs free kick with computer simulationї

„емпионат мира по футболу 2018 г. 32 команды сражаютс€ на самом попул€рном спортивном меропри€тии за всю историю.

88-€ минута матча, счет 3:2 в пользу »спании.

ƒва фаворита в гонке за кубок.  оманда ѕортугалии отстает на одно очко и отча€нно пытаетс€ забить гол. «а игрой наблюдают миллионы болельщиков. ∆ерар ѕике (»спани€) сбивает с ног самого известного (прости, Ћионель ћесси!) футбольного игрока на планете пр€мо р€дом со штрафной площадкой. Ќазначаетс€ штрафной в ворота »спании. –ассто€ние до ворот Ц 22 м. » тут в дело вступает  риштиану –оналду.

 ак говоритс€, Ђмгновение создает человекаї. ¬еликолепно исполненный штрафной удар с полетом м€ча по круто изогнутой траектории смог обмануть и сто€щих в стенке защитников, и раскинувшего руки испанского вратар€. ¬сего через 0,82 секунды –оналду подпрыгивает от радости Ц он только что стал легендой и вошел в пантеон славы „емпионата мира по футболу. Ётот потр€сающий штрафной удар и завоеванное на последней минуте последнего матча очко дл€ сборной ѕортугалии полностью изменили ситуацию в группе, особенно с учетом удачных выступлений сборных »рана и ћарокко.

≈сли ѕортугали€ все же станет чемпионом мира, то именно этот крученый пушечный удар –оналду навсегда запомнитс€ как тот момент, с которого началось восхождение к славе команды, прозванной ЂA Seleção das Quinasї (ЂЋучшие защитникиї). Ќо даже если этого не произойдет, то все равно данный гол станет одним из величайших моментов в чемпионата мира Ц благодар€  риштиану –оналду и какому-то √уставу ћагнусу.  акому такому ћагнусу?

ѕрежде чем продолжить, давайте посмотрим на магию еще раз. Ќачните с отметки времени 0:33. ѕосмотрите видео. “еперь протрите глаза и посмотрите запись еще раз.

https://www.youtube.com/watch?v=y-5dQdaj1kQ (видеозапись предоставлена каналом FOX Soccer)

¬ы обратили внимание на Ђбананообразнуюї траекторию м€ча? „тобы переиграть одного из лучших голкиперов мира ƒэвида де ’еа, –оналдо требовалось перебросить м€ч через защитную стенку с рассто€ни€ всего в 22 метра, причем на точно заданной скорости и высоте. Ќо этого было бы недостаточно.

–оналдо ударил по м€чу с небольшим смещением от центра, направив его вправо от ворот. Ёто придало м€чу вращение и изогнуло траекторию так, что он попал в ворота. »менно така€ Ђбананообразна€ї траектори€ позволила забить гол, и даже быстроногий ƒэвид де ’еа не успел сдвинутьс€ с места. „тобы выполнить подобный удар под колоссальным психологическим давлением на крупнейшем мировом спортивном меропри€тии, требуютс€ долгие тренировки, способности, немного гениальности ...и эффект ћагнуса.

”дар –оналду „ћ 2018

„исленное моделирование аэродинамики м€ча в системе Simcenter STAR-CCM+

‘утбольный м€ч и эффект ћагнуса

Ёффект ћагнуса состоит в искривлении траектории вращающегос€ сферического объекта в одну сторону, вызванном неравномерностью воздушных потоков, создаваемых вокруг объекта в результате его вращени€.

Ќа движущийс€ сквозь воздух невращающийс€ футбольный м€ч действуют различные силы, определ€ющие его траекторию. —ила сопротивлени€ возникает от трени€ молекул воздуха о поверхность тела (сопротивление поверхностного трени€) и разницы давлений в окружающем м€ч воздушном потоке (сопротивление давлени€). —ила сопротивлени€ тормозит м€ч. Ёто универсальное аэродинамическое €вление, применимое и к самолетам, и к автомобил€м, и к спортивным м€чам. ѕодъемна€ сила поднимает объект из-за перепада давлений (именно поэтому летают самолеты). Ќаконец, существует так называема€ бокова€ сила Ц и именно здесь в действие вступает эффект ћагнуса.

ѕри низких скорост€х поток вокруг м€ча ламинарен (то есть равномерен: все слои воздуха €вл€ютс€ невозмущенными). ѕограничный слой Ц прилегающий к поверхности тонкий слой воздуха Ц отрываетс€ от м€ча сразу после его центра, и позади м€ча образуетс€ область хаотичного, возмущенного потока. Ќа высоких скорост€х поток вокруг м€ча, включа€ и пограничный слой, становитс€ турбулентным. “урбулентность возбуждает молекулы воздуха и вынуждает их дольше находитьс€ у поверхности тела. ¬ результате точка отрыва поверхностного сло€ смещаетс€ по направлению к задней части м€ча, что уменьшает вихревую зону. ѕока все пон€тно? ƒл€ лучшего понимани€ посмотрите на следующий рисунок.

”дар –оналду „ћ 2018

изображение вз€то из статьи Kiratidis, Adrian и B. Leinweber, Derek. (2017) An Aerodynamic Analysis of Recent FIFA World Cup Balls [јэродинамический анализ полетов м€чей на последнем чемпионате мира по футболу]. European Journal of Physics. 39. 10.1088/1361-6404/aaa888.

≈сли при штрафном ударе м€ч вращаетс€, то наход€щийс€ р€дом с поверхностью слой зат€гиваетс€ в направлении вращени€. ѕоэтому с этой стороны отрыв поверхностного сло€ задерживаетс€. ј с противоположной стороны вращение вызывает более ранний отрыв поверхностного сло€. ¬ результате возникает сила, смещающа€ м€ч в сторону более низкого давлени€ (помните школьную физику? воздух перемещаетс€ из зоны высокого в зону низкого давлени€). Ёто и есть сила ћагнуса.
”дар –оналду „ћ 2018

изображение вз€то из статьи https://www.howitworksdaily.com/football-physics-how-to-take-the-perfect-free-kick/

Ќа самом деле все гораздо сложнее из-за шероховатой поверхности и швов на м€че. јэродинамика различных м€чей тщательно исследовалась в аэродинамических трубах. ”ченые пришли к консенсусу: число элементов, из которых сшит м€ч, их форма, глубина и высота швов оказывают существенное вли€ние на поведение м€ча в полете. ћ€чи дл€ чемпионатов мира более не делаютс€ из традиционных 32 элементов: компани€ Adidas посто€нно работает над совершенствованием конструкции.
”дар –оналду „ћ 2018

изображение вз€то из статьи Aerodynamic and surface comparisons between Telstar 18 and Brazuca [—равнение аэродинамических характеристик и свойств поверхности футбольных м€чей Telstar 18 и Brazuca], John Eric Goff, Sungchan Hong, and Takeshi Asai, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology

Telstar 18 Ц официальный м€ч „емпионата мира по футболу 2018 года. ƒжон Ёрик √офф (John Eric Goff) с коллегами уже выполнили испытани€ этого м€ча в аэродинамической трубе и сравнили его аэродинамику, а также свойства поверхности с м€чом Brazuca, примен€вшимс€ на чемпионате мира 2014 г. Ќа предыдущем на рисунке представлена разница в формах элементов, текстуре поверхности и глубине швов. —ледует отдать должное инженерам компании Adidas: несмотр€ на все внесенные изменени€, оба м€ча €вл€ютс€ динамически устойчивыми, а их характеристики весьма сходны.

„исленное моделирование штрафного удара –оналду средствами вычислительной газогидродинамики

ƒл€ вы€влени€ точных аэродинамических характеристик знаменитого штрафного удара € решил выполнить его моделирование в Ђвиртуальной аэродинамической трубеї при помощи Simcenter STAR-CCM+, представл€ющей собой программный комплекс вычислительной газогидродинамики от Siemens PLM Software. ¬ычислительна€ газогидродинамика €вл€етс€ частью механики жидкостей и газов. ќна использует математику, физику и программное обеспечение дл€ анализа поведени€ жидкостей и газов. —истема Simcenter STAR-CCM+ нашла широкое применение в проектировании большинства современных изделий, среди которых Ц самолеты, корабли, нефт€ные платформы, автомобили и медицинска€ техника. ¬ данном решении создаетс€ цифровой двойник футбольного м€ча, точно моделирующий его поведение в реальных услови€х.

ƒл€ выполнени€ расчета использовалась 3D-модель м€ча. ”дар выполн€лс€ с рассто€ни€ около 22 м от ворот. ћ€ч долетел до сетки за 0,82 сек. ћасса м€ча составл€ет 0,436 кг, а примерна€ частота вращени€ Ц 5 оборотов в секунду. —корость, приданна€ м€чу ногой –оналдо, достигала 26,8 м/с (96,5 км/ч). јтмосферные услови€ у поверхности «емли принимались стандартными на уровне мор€. ƒл€ расчета аэродинамики м€ча наиболее важным оказалось прогнозирование перехода пограничного сло€ из ламинарного в турбулентный режим. ƒл€ этого использовалась специальна€ модель перехода Gamma Re Theta, предусмотренна€ в системе STAR-CCM+.

–езультаты численного моделировани€ об€зательно должны свер€тьс€ с результатами натурных испытаний. ƒл€ контрол€ вычислительной модели коэффициенты аэродинамических сил сравнивали с данными, полученными √оффом и коллегами в реальной аэродинамической трубе. ¬ следующей таблице приведены расчетные и полученные при натурных испытани€х коэффициенты сопротивлени€ м€ча.


—корость  оэфф. сопр. (по испытани€м в аэродинамической трубе)  оэфф. сопр. (по расчету в STAR-CCM+)
112 км/ч 0,201 0,2209
122 км/ч 0,196 0,222


— учетом отсутстви€ части данных и сделанных предположений расчетные значени€ коэффициента сопротивлени€, подъемной и боковой силы достаточно хорошо согласуютс€ с результатами испытаний. C целью контрол€ расчетной модели проводилс€ анализ физики потока. ƒействующие на м€ч силы были усреднены по всему времени полета при помощи системы STAR-CCM+. ¬ы заметили, что бокова€ сила держитс€ на уровне около 5 ньютонов и имеет отрицательное направление? ¬от и причина искривлени€ траектории. Ёта сила непрерывно действует на м€ч и искривл€ет траекторию его полета.

ѕодъемна€ сила: 0,277 Ќ; сила сопротивлени€: 5,645 Ќ; бокова€ сила (сила ћагнуса): 4,9 Ќ.

“еперь отклонение м€ча от пр€молинейной траектории можно вычислить простыми алгебраическими действи€ми (по€снени€ приведены на рисунке). ќкончательное расчетное отклонение посланного –оналдо м€ча модели Telstar 18 по результатам расчетов в системе STAR-CCM+ составл€ет 3,9 м.

”дар –оналду „ћ 2018

— учетом короткого рассто€ни€ до ворот и того, что –оналду ударил по м€чу так, что м€ч сначала отвернул от штанги, а уже потом траектори€ изогнулась, станов€тс€ очевидными два факта:

  • –оналдо находитс€ на пике формы, раз он способен выполн€ть столь идеальные удары по изогнутой траектории;
  • такой удар стал возможным, потому что компани€ Adidas создала м€ч с улучшенной аэродинамикой и более предсказуемым поведением.

ѕри ударе м€ч получил не только поступательную скорость, но и создавал завихрение (вращение) потока. —уммарна€ бокова€ сила вызвана действием парных вихрей и зависит от размера таких вихрей. ¬ихрева€ зона действительно смещаетс€ в одну сторону, вызыва€ боковую силу, однако флуктуации в вихревой зоне слишком малы, чтобы траектори€ вращающегос€ м€ча стала более пологой. ѕоэтому футболисты полагаютс€ на эффект ћагнуса и бьют мимо ворот, а аэродинамические силы привод€т м€ч в ворота.

„исленное моделирование штрафного удара –оналду и свойства потока, рассчитанные в системе STAR-CCM+; запись матча предоставлена телеканалом FOX Soccer (https://www.youtube.com/watch?v=y-5dQdaj1kQ)

(ѕросмотр в Ђћоих видеої)

ѕри создании расчетной модели окружающа€ м€ч область была разделена на 30 млн гексагональных €чеек, дл€ каждой из которых выполн€лось решение уравнений Ќавье-—токса (описывающих поведение потоков жидкостей и газов). Ќасколько сложной оказалась эта задача? Ќа один расчет уходило 24 часа. ѕри этом было задействовано 96 процессорных €дер. ‘изические параметры рассчитывались с шагом 0,0005 сек, что гарантировало точное вы€вление пространственных и временных флуктуаций.  аждые 0,0005 сек. м€ч поворачивалс€ на 1 градус.

—оздаваема€ бокова€ сила зависит от начальной ориентации швов на м€че, а также от текстуры (шероховатости) поверхности.  роме того, критически важно точно определить частоту вращени€ м€ча в полете. ¬ св€зи с отсутствием подобной информации был сделан р€д допущений. “ак, было прин€то, что вс€ поверхность м€ча имеет одинаковую шероховатость, равную 5 мкм. √еометри€ модели соответствует реальной геометрии м€ча.  онечно, лазерное сканирование м€ча дало бы более точные результаты. „астота вращени€ была примерно установлена визуально. “раектори€ перемещени€ м€ча по дуге от уровн€ земли до верхней точки над защитной стенкой и его последующего снижени€ также не учитывались. «нание указанной траектории позволило бы получить еще более точные результаты.

ѕомог ли футбольный м€ч модели Telstar 18 выполнить такой штрафной удар? Ќесомненно.

»сследовани€ ƒжона Ёрика √оффа уже показали, что с точки зрени€ аэродинамики модели м€чей Telstar 18 и Brazuca практически идентичны, а их поведение гораздо более предсказуемо. —ыграло ли это какую-либо роль в выполнении рассматриваемого штрафного удара? ƒумаю, да. ¬ратарь де ’еа оставалс€ на своем месте в основном потому, что сначала траектори€ движени€ м€ча шла мимо ворот и лишь потом она изогнулась. –ассто€ние между штангами ворот составл€ет 7,32 м. –азумна€ оценка фактического бокового смещени€ м€ча Ц около 3,5 м. ѕо расчетам получено значение 3,9 м, что объ€сн€етс€ использованием р€да допущений, нехваткой данных и отсутствием сканированной модели м€ча. ћен€ более интересовал вопрос о том, какое вли€ние конструкци€ м€ча оказала на изменение его траектории, а в конечном итоге Ц на исход матча.

”дар –оналду „ћ 2018

видеоролик канала FOX Soccer (https://www.youtube.com/watch?v=y-5dQdaj1kQ)

я повторил расчет дл€ м€ча модели Jabulani (чемпионат мира 2010 года) и получил следующие результаты:

ѕодъемна€ сила: 0,3667 Ќ; сила сопротивлени€: 5,338 Ќ; бокова€ сила (сила ћагнуса): 5,647 Ќ. ќкончательное расчетное отклонение посланного –оналдо м€ча по результатам расчетов в системе STAR-CCM+ составл€ет 4,6 м.

ƒе ’еа даже не попыталс€ перехватить м€ч, как только он пон€л, что траектори€ ведет в недос€гаемый верхний угол ворот. ≈го рост Ц 1м 90 см. ¬ прыжке он способен дот€нутьс€ примерно на 2,2 м. ¬ исходном положении перед ударом ƒе ’еа находилс€ в 2,75 м от левой штанги. ћ€ч попал в сетку в 5,9 м от левой штанги. ѕересечь рассто€ние в 3,15 м было совершенно невозможно.

≈сли бы –оналдо выполн€л штрафной удар м€чом марки Jabulani, то такой м€ч сместилс€ бы на лишние 0,7 м в сторону вратар€, оказавшись примерно в 5,2 м от левой штанги. “огда дл€ перехвата м€ча ƒе ’еа должен был бы преодолеть 2,45 м. “аким образом, тот же удар, но м€чом Jabulani скорее всего привел бы к тому, что м€ч оказалс€ бы в зоне дос€гаемости вратар€. — учетом начального движени€ в сторону м€ча ƒе ’еа мог его отбить. √олкиперы действуют инстинктивно. ≈сли бы траектори€ м€ча искривилась больше в сторону вратар€, то инстинкты могли бы сработать и он бы перехватил м€ч (или, по крайней мере, попыталс€ бы это сделать). ј теперь Ц пока, »спани€!

»стина в том, что от м€ча зависит не меньше, чем от игрока. —танет ли сборна€ ѕортугалии чемпионом мира и впишет свое им€ в историю или поедет домой; удастс€ ли –оналду забить свой фирменный гол на чемпионате или он потерпит поражение Ц все это зависит от того, каким м€чом играть.

ƒалее показан смоделированный в STAR-CCM+ тот же штрафной удар, но с м€чом Jabulani.

јэродинамические характеристики м€ча Jabulani дл€ случа€ штрафного удара –оналду

(ѕросмотр в Ђћоих видеої)

 ак видно, вихревые зоны м€чей Jabulani и Telstar почти не отличаютс€. √лубина швов м€ча Jabulani равна 0,5 мм, а Telstar 18 Ц 1,1 мм. –азница совсем незначительна€? ƒа. ≈й можно пренебречь? Ќет. »менно швы, а также структура поверхности вли€ют на то, что разные м€чи при одном и том же ударе движутс€ по-разному. Ўвы на м€че Jabulani менее глубокие, их обща€ длина меньше, а поверхность м€ча более гладка€. ѕоэтому поток отрываетс€ раньше, что приводит к увеличению размеров вихревой зоны и большему отклонению в сторону.

ј если бы это был Ђнаклболї?

–азумеетс€, –ональдо прославилс€ своими Ђнаклбольнымиї ударами Ц как с быстрым вращением м€ча, так и без него. ¬ихрева€ зона позади невращающегос€ м€ча отличаетс€ большей нестабильностью и сильными флуктуаци€ми, что и приводит к возникновению эффекта Ђнаклболаї с движением м€ча по непредсказуемой траектории. ћне стало интересно: а что было бы, если бы –оналдо попыталс€ сделать Ђнаклбольныйї удар? ” мен€ еще оставалось немного компьютерного времени на анализ аэродинамики такого удара.

(ѕросмотр в Ђћоих видеої)

”дар –оналду „ћ 2018

јэродинамические характеристики Ђнаклбольногої удара –оналду

¬ этом случае –оналду должен был бы ударить по м€чу пр€мо и направить его поверх защитной стенки, а не добиватьс€ искривлени€ траектории наружу. ќбратите внимание на направление действи€ боковой силы в полете Ц это и есть Ђэффект наклболаї. ѕодъемна€ сила также мен€ет свое направление в полете, что делает траекторию непредсказуемой. ’от€ среднее отклонение невелико, колебани€ м€ча в любую сторону затрудн€ют его перехват. “ак почему же –оналду отказалс€ от своего фирменного Ђнаклбольногої удара? ѕотому что рассто€ние до ворот было слишком мало, чтобы м€ч успел набрать достаточную высоту, пролететь над стенкой и попасть в цель.

ѕодъемна€ сила: 0,58 Ќ; сила сопротивлени€: 4,65 Ќ; бокова€ сила (сила ћагнуса): 0,41 Ќ. Ѕокова€ сила: 0,59 Ќ.

«аключение

—танет ли сборна€ ѕортугалии чемпионом мира или нет Ц штрафной удар –оналду в любом случае войдет в анналы спорта. –оналду привлек огромное внимание, им восхищаютс€ Ц и не без причины. Ќо мы должны отдать должное и компании Adidas как изготовителю м€ча, который посто€нно работает над улучшением конструкции и созданием устойчивой аэродинамики м€ча. ќписанные здесь расчеты €вл€ютс€ попыткой дальнейшего объ€снени€ физических €влений, лежащих в основе штрафных ударов в футболе. –оналдо ударил по м€чу мимо ворот, будучи полностью уверенным в том, что приданное м€чу вращение и его предсказуемое поведение измен€т траекторию так, что м€ч попадет в ворота, мину€ вратар€.

ј сработал бы такой трюк с м€чом Jabulani? —корее всего, нет Ц м€ч оказалс€ бы в пределах дос€гаемости голкипера. ѕоведение м€ча диктует стиль игры. »менно по этой причине на чемпионате мира 2010 года некоторые команды полагались исключительно на короткие передачи (»спани€, это про теб€), чтобы компенсировать непредсказуемое поведение м€ча при длинных передачах.

 огда вы смотрите матчи, то помните, что ни один такой гол не Ђнарушает законы физикиї, как люб€т утверждать комментаторы. –азница между тем, чтобы войти в историю или оказатьс€ всего лишь заметкой на пол€х чемпионата мира, также определ€етс€ законами физики: конструкци€ м€ча, турбулентные вихри позади него, пограничный слой...

»нтересно, может ли кто-нибудь из читателей св€затьс€ с  риштиану? ћы бы хотели попросить его выполнить тот же удар, но с другими м€чами, использовавшимис€ на предыдущих чемпионатах мира.

„тобы узнать больше о физике штрафных ударов, ознакомьтесь с исследованием –аби ћехта (Rabi Mehta) из Ќј—ј и ƒжона Ёрика √оффа (John Eric Goff) из колледжа Ћинчбурга. ј пока мои коллеги из отдела численного моделировани€ систем в Simcenter уже 5 июл€ выпускают новую библиотеку Simcenter Amesim World Cup.


STAR-CCM+ Ч это автономное решение дл€ проведени€ расчетов в области динамики жидкости и газа, механики твердых тел, теплопередачи, динамики частиц, динамики течений, электрохимии, электромагнетизма, акустики и реологии. STAR-CCM+ предлагает технологию точных и эффективных расчетов с использованием единого интегрированного интерфейса пользовател€ и автоматизированных рабочих процессов. ѕростой способ дл€ проведени€ анализа и решени€ сложных практических задач. — помощью STAR-CCM+ можно прогнозировать характеристики издели€, что сокращает расходы на проведение экспериментального тестировани€, и получать необходимые данные, управл€€ процессом разработки издели€ от начала до конца.

Adidas, Telstar 18 и Jabulani €вл€ютс€ зарегистрированными торговыми знаками компании Adidas AG. Siemens PLM Software, ее дочерние компании и продукты никоим образом не св€заны с компанией Adidas AG, не одобр€ютс€, не поддерживаютс€ и не спонсируютс€ ею.

FIFA World Cup, 20148 FIFA World Cup, и 2010 FIFA World Cup €вл€ютс€ торговыми марками FIFA. Siemens PLM Software, ее дочерние компании и продукты никоим образом не св€заны с федерацией FIFA, не одобр€ютс€, не поддерживаютс€ и не спонсируютс€ ею.

¬идеозаписи представлены каналом FOX Soccer



¬акансии:

јктуальное обсуждение

RSS-лента комментариев

ќбзор новостей:  ќкт€брь

ƒавид Ћевин:

ѕроводишь —јѕ–-форум Ц следовательно существуешь

  • ANSYS: партнЄрство с PTC?
  • јнастаси€ ћорозова жжЄт
  • Ёрик де  ейзер: BricsCAD теперь не клон, а циклон
  • јлександр √оликов: дл€ нашего роста нет никаких ограничений
  • ћаксим Ѕогданов: BIM уверенно мчитс€ по рельсам –ос“»ћ
  • —ергей  ураксин отвечает на вопрос ребром
  • √лава DS SOLIDWORKS: строительству нужен не BIM, а 3DEXPERIENCE
  • NVIDIA: очередной суперкомпьютер с возможност€ми »»

¬се номера       

ѕодписатьс€ на рассылку isicad

ƒавид Ћевин
ƒавид Ћевин
ќт редактора: ѕользователь Ц далеко не единственный источник истины дл€ вендора
ѕроект ЂЌародное —јѕ–-интервьюї

—лучайна€ стать€:

Allplan глазами нетипичного пользовател€ — ƒмитрий Ѕубновский (23 окт€бр€ 2018)
isicad Top 10

—амые попул€рные материалы

   ‘орумы isicad:

isicad-2010 isicad-2008
isicad-2006 isicad-2004

ќ проекте

ѕриглашаем публиковать на сайте isicad.ru новости и пресс-релизы о новых решени€х и продуктах, о проводимых меропри€ти€х и другую информацию. јдрес дл€ корреспонденции - info@isicad.ru

ѕроект isicad нацелен на

  • укрепление контактов между разработчиками, поставщиками и потребител€ми промышленных решений в област€х PLM и ERP...
ѕодробнее

»нформаци€ дл€ рекламодателей


¬се права защищены. © 2004-2018 √руппа компаний «Ћ≈ƒј—»

ѕерепечатка материалов сайта допускаетс€ с согласи€ редакции, ссылка на isicad.ru об€зательна.
¬ы можете обратитьс€ к нам по адресу info@isicad.ru.