¬аше окно в мир —јѕ–
 
Ќовости —татьи јвторы —обыти€ ¬акансии Ёнциклопеди€ –екламодател€м
—татьи

20 ма€ 2021

Ѕиблиотека моделировани€ плавных кривых Ц новый раздел геометрического €дра C3D Modeler

¬алери€н ћуфтеев, јртем ћаксименко

¬алери€н ћуфтеев јртем ћаксименко

јвторы: ¬алери€н ћуфтеев Ч к.т.н., ведущий математик-программист C3D Labs, јртем ћаксименко Ч специалист по маркетингу C3D Labs

ѕродолжение цикла статей, посв€щенных новому типу кривых и поверхностей, разработанному в компании C3D Labs в качестве нового функционала поверхностного моделировани€ дл€ геометрического €дра C3D Modeler.

¬ этой части описываетс€ реализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler.

¬ первой части были освещены основные моменты, необходимые дл€ понимани€ читателем главных преимуществ рассматриваемого класса кривых и его назначени€ в инженерной геометрии.

¬ третьей части будут приведены примеры практического применени€ C3D FairCurveModeler при моделировании различных изделий.

–еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

„то такое C3D FairCurveModeler

C3D FairCurveModeler Ч это библиотека моделировани€ плавных кривых, реализованна€ как совершенно новый раздел геометрического €дра C3D Modeler, расшир€ющий его возможности дл€ поверхностного моделировани€.

 ривые класса F, описанные в прошлом блоке статьи, моделируютс€ с помощью методов C3D FairCurveModeler. ѕомимо возможности построени€ кривых высокого качества по критери€м плавности методы также удовлетвор€ют следующим требовани€м:

  • устойчивость формообразовани€, или изогеометричность;
  • инвариантность относительно аффинных и проективных преобразований;
  • гибкость;
  • инструментальное разнообразие;
  • возможность изогеометрической аппроксимации аналитических кривых с сохранением их базовых свойств.

‘ункционал C3D FairCurveModeler описываетс€ с помощью терминов инженерной геометрии. ћодель кривой в инженерной геометрии называетс€ определителем [20] и состоит из геометрической части и алгоритма генерации точек кривой или процедуры построени€ аппроксимирующего сплайна. √еометрическую часть определител€ можно рассматривать как геометрический определитель кривой. Ќаиболее привычными и естественными видами геометрического определител€ €вл€ютс€ множества точек (вида опорной ломаной) или множества касательных пр€мых (в частности, вида касательной ломаной).  роме того, в инженерной геометрии используютс€ так называемые управл€ющие сплайновые полигоны NURBS кривых.

–азличные виды геометрических определителей имеют свои достоинства и недостатки. Ћомана€ инцидентности позвол€ет точно позиционировать кривую, касательна€ ломана€ однозначно и точно задает форму моделируемой кривой, S-полигон NURBS кривой высокой степени позвол€ет локально измен€ть форму кривой и гарантирует высокое качество пространственных кривых по критери€м плавности кривизны и кручени€.

¬ библиотеке C3D FairCurveModeler используетс€ также уникальный геометрический определитель Ч геометрический определитель Ёрмита (√ќ Ёрмита) второго пор€дка фиксации. √ќ Ёрмита представл€ет собой опорную ломаную, оснащенную в каждой своей вершине касательным вектором и вектором кривизны.

‘ундаментальные основы C3D FairCurveModeler

Ќиже привод€тс€ четыре фундаментальных Ђоткрыти€ї, ставшие отправной точкой в разработке функционала моделировани€ плавных кривых.

1. “еоретическим фундаментом или первым Ђкраеугольным камнемї C3D FairCurveModeler €вл€етс€ теори€ параметризации, или теори€ исчислени€ параметров. Ќа ее основе было обобщено пон€тие сплайна как множества базовых кривых, имеющих совпадающие геометрические параметры в произвольных точках опорной ломаной. ¬ традиционных сплайнах базовые кривые имеют совпадающие параметры только в точках стыка сегментов сплайна.

ѕервым открытием €вл€етс€ метод определени€ базиса сплайна как множества конических кривых двойного соприкосновени€ на локально-выпуклой опорной ломаной (рис. 2.1).

–еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

–ис. 2.1.  онические кривые двойного соприкосновени€

—межные кривые образуют на общем сегменте ломаной УлинзуФ. Ќапр€женность сплайна характеризуетс€ величиной отклонени€ смежных аналитических кривых базиса сплайна и визуально легко оцениваетс€ по величине линзы между смежными кривыми.


2. ¬торым Украеугольным камнемФ фундамента €вл€етс€ алгоритм генерации точек виртуальной кривой (V-кривой) на базисе сплайна дискретного множества конических кривых двойного соприкосновени€. ћетод V-кривой разработан в C3D Labs в рамках приведенного выше подхода.

“очки кривой генерируютс€ в области линз, что уменьшает напр€женность сплайна, построенного на сгенерированных точках. «атем на множестве сгенерированных точек вновь определ€етс€ множество конических кривых двойного соприкосновени€. ѕоследовательность этих операций в пределе определ€ет виртуальную кривую класса C5 [21].

¬иртуальна€ крива€ (V-крива€) обладает р€дом замечательных свойств:

  • минимальным числом экстремумов кривизны;
  • дуальностью (как и коническую кривую, V-кривую можно определ€ть не только на опорных точках, но и на касательных);
  • аффинной инвариантностью;
  • малой чувствительностью к распределению точек на контуре кривой.

¬ажным следствием этих свойств €вл€етс€ возможность геометрически точного моделировани€ конических кривых.


3. “ретий Ђкраеугольный каменьї Ч изогеометрическа€ аппроксимаци€ виртуальной кривой посредством рациональной сплайновой кривой Ѕезье (NURBzS кривой) Ч один из геометрически ориентированных методов изогеометрического построени€ NURBS кривой.

√рафоаналитический алгоритм состоит из следующих простых операций:

а)  онические кривые двойного соприкосновени€ на общем сегменте опорной ломаной рассматриваютс€ как кривые Ѕезье 2-й степени с B-полигонами в виде 2-звенников (рис. 2.2);

–еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

–ис. 2.2.  онические кривые двойного соприкосновени€

б) ” кривых Ѕезье повышаетс€ степень до 3-й с (рис. 2.3) с B-полигонами в виде 3-звенников;

–еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

–ис. 2.3. ѕреобразование конических кривых до рациональных кривых Ѕезье 3-й степени


в) –езультирующий B-полигон получаетс€ усреднением исходных B-полигонов. —реднее звено результирующего B-полигона параллельно исходным и лежит на равном рассто€нии от них (рис. 2.4).

–еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

–ис. 2.4. ѕостроение результирующего B-полигона

ѕоскольку усредненный B-полигон будет также выпуклым, как и исходные B-полигоны, то обеспечиваетс€ строга€ изогеометричность.


г) ”точн€ютс€ значени€ кривизны в концевых точках результирующей кривой по значени€м исходных кривых.

јлгоритм имеет модификацию. ѕри резких изменени€х кривизны, когда одно значение близко к нулевому, B-полигон корректируетс€ таким образом, что крива€ Ѕезье, определенна€ на скорректированном B-полигоне, имеет точную меньшую кривизну.


4. „етвертый Ђкраеугольный каменьї Ч изогеометрическа€ аппроксимаци€ виртуальной кривой посредством B-сплайновой кривой.

 лючевым моментом здесь €вл€етс€ отказ от традиционного подхода, при котором считаетс€, что опорные точки должны совпадать с узловыми точками сплайна. —плайн должен проходить через точки опорной ломаной, но узлы сплайна (или любые точки сплайна с фиксированными значени€ми внутреннего параметра) не совпадают с вершинами опорной ломаной.

јлгоритм €вл€етс€ эвристическим Ч аналогом ручного редактировани€ S-полигона. ƒл€ построени€ используютс€ исходные касательные пр€мые в точках V-кривой. ѕересечени€ касательных пр€мых определ€ют вершины S-полигона (рис. 2.5).

–еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

–ис. 2.5. √ќ Ёрмита первого пор€дка фиксации

Ќа S-полигоне в текущей итерации вычисл€ютс€ рассто€ни€ от точек до сплайна.  асательна€ пр€ма€ параллельно себе перемещаетс€ на величину нев€зки δij в сторону уменьшени€ нев€зки (рис. 2.6).

–еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

–ис. 2.6. »тераци€ приближени€ сплайна

«атем итераци€ повтор€етс€. ѕриведенный алгоритм изогеометрической аппроксимации €вл€етс€ типичной эвристической графоаналитической процедурой.

ћетоды построени€ кривых C3D FairCurveModeler

ƒалее приводитс€ описание алгоритмов работы методов C3D FairCurveModeler дл€ моделировани€ кривых высокого качества различной формы.


ћоделирование кривых сложной формы

»сходный √ќ кривой сложной формы структурируетс€, определ€ютс€ точки перегиба. ѕо точкам перегиба исходный √ќ разбиваетс€ на р€д локально-выпуклых участков. Ќа каждом локально-выпуклом участке строитс€ виртуальна€ крива€ (V-крива€). ѕри определении V-кривой на участке ломаной с концевой точкой, принадлежащей точке перегиба, задаетс€ нулевое значение кривизны в концевой точке.


ћоделирование кривых пространственной формы

»сходна€ пространственна€ ломана€ развертываетс€ на плоскости таким образом, что сохран€ютс€ длины звеньев и углы между звень€ми. «атем ломана€ структурируетс€ и определ€етс€ V-крива€.

ƒл€ сглаживани€ прерывистого кручени€ пространственной NURBzS кривой выполн€етс€ следующа€ процедура, прив€занна€ к команде повышени€ степени.

—тепень кубической NURBzS кривой повышаетс€ до шестой. —егмент NURBzS кривой имеет B-полигон с 7 вершинами. ” смежных сегментов определ€ютс€ соприкасающиес€ плоскости в концевых точках. Ёти плоскости определ€ютс€ трем€ концевыми точками B-полигонов. ” смежных сегментов определ€етс€ биссекторна€ плоскость к двум смежным соприкасающимс€ плоскост€м. “ретьи вершины B-полигонов, счита€ от общей точки, проецируютс€ на биссекторную плоскость.


ћоделирование B-сплайновой поверхности высоких степеней

¬ функционал C3D FairCurveModeler нет необходимости добавлени€ методов дл€ построени€ и редактировани€ B-сплайновых поверхностей, так как дл€ этого используютс€ только методы построени€ B-сплайновых кривых.

 аркасно-кинематическое представление B-сплайновой поверхности, прин€тое в инженерной геометрии, позвол€ет разбить процесс построени€ поверхности на два этапа.

  • ѕервый этап Ч построение образующих B-сплайновых кривых с применением V-кривых (рис. 2.7, 2.8);
    –еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

    –ис. 2.7. »сходна€ сеть опорных точек

    –еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

    –ис. 2.8.  аркас S-полигонов образующих B-кривых

  • ¬торой этап Ч построение направл€ющих B-сплайновых кривых с применением V-кривых (рис. 2.9, 2.10).
    –еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

    –ис. 2.9. —еть S-полигонов образующих B-кривых

    –еализаци€ методов F-кривых в C3D Modeler

    –ис. 2.10.  аркас S-полигонов формирует S-фрей B-сплайновой поверхности


Ѕиблиографический список

¬ списке литературы используетс€ сквозна€ нумераци€ по трем част€м, см. начало.

20. ћуфтеев ¬. √.  онструирование криволинейных поверхностей на основе метода огибающей и параметрических ¬-сплайнов: ƒис. ... канд. техн. наук.  иев, 1986. 274 с.

21. ћуфтеев ¬.√.  онструирование плоских кривых методом огибающей // »зв. ¬”«ов. јвиационна€ техника. 1980. є 4. —. 43-47.


„итайте также:


¬акансии:

јктуальное обсуждение

RSS-лента комментариев

ƒавид Ћевин
ƒавид Ћевин
ќт редактора:  ак искусственный интеллект защищал Ђ√еометрическое моделированиеї Ќ.Ќ. √олованова от пиратства isicad.ru
ѕроект ЂЌародное —јѕ–-интервьюї

—лучайна€ стать€:

isicad Top 10

—амые попул€рные материалы

   ‘орумы isicad:

isicad-2010 isicad-2008
isicad-2006 isicad-2004

ќ проекте

ѕриглашаем публиковать на сайте isicad.ru новости и пресс-релизы о новых решени€х и продуктах, о проводимых меропри€ти€х и другую информацию. јдрес дл€ корреспонденции - info@isicad.ru

ѕроект isicad нацелен на

  • укрепление контактов между разработчиками, поставщиками и потребител€ми промышленных решений в област€х PLM и ERP...
ѕодробнее

»нформаци€ дл€ рекламодателей


¬се права защищены. © 2004-2021 √руппа компаний «Ћ≈ƒј—»

ѕерепечатка материалов сайта допускаетс€ с согласи€ редакции, ссылка на isicad.ru об€зательна.
¬ы можете обратитьс€ к нам по адресу info@isicad.ru.