¬аше окно в мир —јѕ–
 
Ќовости —татьи јвторы —обыти€ ¬акансии Ёнциклопеди€ –екламодател€м
—татьи

19 ма€ 2021

‘ункциональные кривые высокого качества Ч инноваци€ в геометрическом моделировании от C3D Labs

¬алери€н ћуфтеев, јртем ћаксименко

¬алери€н ћуфтеев јртем ћаксименко

јвторы: ¬алери€н ћуфтеев Ч к.т.н., ведущий математик-программист C3D Labs, јртем ћаксименко Ч специалист по маркетингу C3D Labs

Ёта заметка запускает цикл статей, посв€щенных новому типу кривых и поверхностей, разработанному в компании C3D Labs в качестве нового функционала поверхностного моделировани€ дл€ геометрического €дра C3D Modeler.

ѕерва€ часть из данного цикла освещает основные моменты, необходимые дл€ понимани€ читателем главных преимуществ рассматриваемого класса кривых и его назначени€ в инженерной геометрии.

¬тора€ часть посв€щена реализации методов F-кривых в C3D Modeler.

¬ третьей части будут приведены примеры практического применени€ C3D FairCurveModeler при моделировании различных изделий.

ќригинал статьи в блоге C3D Labs


¬ современном мире повсеместно востребованы CAD-системы, позвол€ющие моделировать сложные кривые и поверхности. Ёти возможности задействованы при решении многих проектных задач в самых разных област€х науки и техники. ќднако даже если CAD-система поддерживает моделирование кривых и поверхностей класса ј, она не обеспечивает надлежащего качества так называемых функциональных кривых по критери€м плавности.

ѕеред разработчиками C3D Labs встала задача реализации такого функционала, который позволил бы моделировать кривые линии и, соответственно, поверхности самого высокого качества. ¬ результате проведенных изысканий в области геометрического моделировани€ на свет по€вилс€ C3D FairCurveModeler Ч новый раздел геометрического €дра C3D Modeler, позвол€ющий строить кривые класса F.

¬ данной статье анализируютс€ требовани€ к функциональным кривым, даетс€ описание их преимуществ перед другими кривыми, а также привод€тс€ примеры практического применени€ функционала C3D FairCurveModeler.

¬ведение в пон€тие функциональных кривых

„то такое функциональные кривые

  новому типу кривых относ€тс€ плоские и пространственные кривые, которые обеспечивают некоторую функциональную характеристику объекта, в св€зи с чем их целесообразно называть функциональными кривыми [1].

ќбласть применени€ таких кривых весьма широка и распростран€етс€ в основном на проектные задачи, возникающие в разных отрасл€х техники. Ќапример,

  • задача по максимизации подъемной силы при минимизации лобового сопротивлени€ при моделировании профил€ крыла самолета (рис. 1.1);
  • задача поиска максимальной плавности трассы при заданных ограничени€х дл€ обеспечени€ комфортной и безопасной езды на транспортном средстве.
‘ункциональные кривые высокого качества

–ис. 1.1. ѕрофиль крыла

—реди функциональных кривых можно выделить подкласс инженерных аналитических кривых, которые единственным оптимальным образом обеспечивают некоторую проектную характеристику объекта.   таким кривым, например, можно отнести спираль јрхимеда, используемую дл€ построени€ профил€ зубьев зубчатого колеса, а также брахистохрону Ч кривую наискорейшего спуска дл€ транспортировки предметов.

¬ остальных случа€х функциональные кривые имеют свободную форму. “акие кривые могут быть локально-выпуклыми (с посто€нным знаком функции кривизны) и иметь точки перегиба (участки с разным знаком функции кривизны).

 роме того, функциональные кривые могут быть пространственными и, соответственно, иметь кручение.

–ассмотрим подробнее, что представл€ют собой функциональные кривые и чем они отличаютс€ от обычных гладких кривых.

“ребовани€ качества к функциональным кривым

  параметрам плавности рассматриваемых инженерных кривых предъ€вл€ютс€ повышенные требовани€, которые €вл€ютс€ универсальными дл€ данного типа кривых и не завис€т от специфики проектируемых объектов. Ќиже приводитс€ список данных требований с по€снени€ми:


а) высокий, не ниже 4-го, пор€док гладкости

√ладкость Ч это свойство функции или геометрической фигуры (кривой, поверхности и др.), определ€ющее, дифференцируема ли функци€ на всЄм множестве определени€ или имеетс€ ли у каждой точки данной фигуры окрестность, допускающа€ задание с помощью дифференцируемых функций.

¬ различных видах проектировани€ используютс€ сплайны разного пор€дка гладкости. Ќапример,

  • при моделировании трасс дорог используютс€ клотоидные сплайны, а гладкость обеспечиваетс€ не ниже 2-го пор€дка;
  • дл€ профилировани€ кулачка распределительного вала высокоскоростных двигателей необходима гладкость не ниже 3-го пор€дка, поэтому проектирование профил€ начинаетс€ с вычерчивани€ плавного графика 3-й производной [2];
  • при моделировании пространственных кривых дл€ обеспечени€ непрерывности функции кручени€ крива€ должна иметь 3-й пор€док гладкости;
  • из анализа пространственной криволинейной траектории движени€ материальной точки следует, что пространственна€ крива€ с плавным кручением должна иметь 4-й пор€док гладкости [3].


б) отсутствие или минимальное число экстремумов кривизны

ѕлавность кривой также зависит от формы графика изменени€ кривизны вдоль линии движени€.

¬озвратимс€ к примеру с материальной точкой. ѕоскольку осцилл€ци€ функции кривизны согласно основному уравнению динамики [3] вызовет пульсацию центробежных сил, действующих на материальную точку, участок линии движени€ должен иметь минимальное число экстремумов кривизны или минимальное число вершин кривой.

Ќаличие лишних экстремумов кривизны, например, у формы технических изделий и объектов дизайна, может вызвать следующие негативные €влени€:

  • неоправданное биение толкател€ кулачкового механизма, следствием которого €вл€етс€ преждевременный износ механизма;
  • залипание почвы на участке плуга с концентрацией кривизны у траектории движени€ почвы, что приводит к увеличению сопротивлени€ плуга и, следовательно, повышению энергоемкости процесса вспашки (рис. 1.2) [4];
  • при лишних экстремумах кривизны на аэродинамическом профиле Ч неоправданна€ пульсаци€ среды, обтекающей профиль, что увеличивает его лобовое сопротивление и может спровоцировать срыв потока;
  • необходимость лишних торможений и разгонов, что увеличивает энергозатраты на перемещение по трассе транспортного средства [5];
  • эффект кривых зеркал у кривых кузовных поверхностей и архитектурных форм [6];
  • неправильное визуальное воспри€тие объектов компьютерной графики и CAD [7].
‘ункциональные кривые высокого качества

–ис. 1.2. —борка плуга в  ќћѕј—-3D


в) малые значени€ вариации кривизны и скорости ее изменени€

¬ некоторых прикладных област€х вводитс€ требование минимизации вариации кривизны, следовательно, концентраци€ кривизны должна быть ограничена по максимальному значению.

Ќапример, такое ограничение минимального значени€ радиуса кривизны (максимальной кривизны) естественным образом вводитс€ при проектировании дорог: минимальный радиус виража ограничиваетс€ из расчета допустимой скорости транспортного средства [8, 9].

¬ажным параметром качества кривой €вл€етс€ скорость изменени€ кривизны. ѕри проектировании трассы дороги этот параметр регламентирует скорость нарастани€ центробежной силы, действующей на автомобиль на виражах, и легко контролируетс€ благодар€ применению сегментов клотоиды с линейным изменением функции кривизны [8, 9].


г) малое значение потенциальной энергии кривой

—читаетс€, что плавность кривой напр€мую св€зана с ее потенциальной энергией. Ќеобходимость выбора функциональной кривой с малым значением потенциальной энергии основываетс€ на предположении, что при движении объекта с функциональной поверхностью с большой скоростью среда, обтекающа€ объект, ведет себ€ как упругое тело. ќчевидно, что дл€ деформации упругой среды по лини€м тока с меньшей потенциальной энергией будет затрачиватьс€ меньша€ работа. ѕри движении материальной точки по вогнутой криволинейной траектории с учетом трени€ работа, затрачиваема€ на перемещение, будет меньше при меньшем значении потенциальной энергии траектории перемещени€ [1].

 рива€, имеюща€ минимальное значение потенциальной энергии, называетс€ эластикой [10]:

‘ункциональные кривые высокого качества

где EMEC Ч потенциальна€ энерги€ кривой;
k(s) Ч ее кривизна;
l2 и l1 Ч начало и конец интервала.

Ёластика может быть представлена в виде осевой линии деформированной упругой рейки между двум€ грузиками (ducks).  ачество эластик апробировано многовековым опытом судостроени€. √ибкие рейки (физические сплайны) примен€лись дл€ вычерчивани€ профилей шпангоутов, батоксов и ватерлиний при проектировании и строительстве судов, а позднее автомобилей и самолетов.


д) эстетический анализ кривых

ѕомимо предложенных выше объективных критериев плавности качество кривой необходимо оценивать также и с позиций законов технической эстетики. —уществует такой подход к оценке эстетичности кривой, когда форма кривой базируетс€ на математических характеристиках форм, вы€вленных у объектов реального мира (например, очертани€ крыльев бабочек) [11, 12].

ƒл€ моделировани€ красивых (эстетических) форм предлагаютс€ так называемые log-эстетические кривые, имеющие линейный график кривизны в логарифмической шкале [13 - 15]. ћножество известных спиралей, в том числе клотоида, €вл€ютс€ частными случа€ми кривых этого класса. ¬ работе [16] был предложен наиболее обобщенный класс кривых с монотонной функцией кривизны, называемый суперспирал€ми. ”равнени€ этих кривых выражаютс€ через √ауссовы гипергеометрические функции и численно интегрируютс€ адаптивными методами типа метода √аусса Ч  ронрода.

ќднако множество эстетических кривых не ограничиваетс€ только множеством log-эстетических кривых.  ривые могут иметь произвольно сложные плоские и пространственные формы и быть вполне эстетичными.

јвторы работы считают, что приоритетной €вл€етс€ оценка по критери€м плавности. Ёкспертна€ оценка с позиций законов технической эстетики (лаконичность, целостность, выразительность, пропорциональна€ согласованность, композиционное равновесие, структурна€ организованность, образность, рациональность, динамичность, масштабность, пластичность, гармоничность) правомерна только после оценки на плавность.

¬есьма показательна в этом смысле работа [17], в которой привод€тс€ графики экспертной оценки эстетического качества кривых с различными параметрами плавности (рис. 1.3). Ќаиболее высока€ экспертна€ оценка у кривых, которые отвечают базовым требовани€м к функциональным кривым (одновременно малое значение кривизны и мала€ скорость изменени€ кривизны).

‘ункциональные кривые высокого качества

–ис. 1.3. “ест из работы Levien'а (2009)

ѕромежуточные итоги

— учетом всех вышеупом€нутых требований дл€ построени€ очень плавной траектории движени€ необходимы:

  • минимальное число опорных точек моделируемой сплайн-траектории движени€ и высокий, не ниже 4-го, пор€док гладкости;
  • плавное кручение пространственной кривой;
  • ограничение максимального значени€ кривизны и скорости ее изменени€;
  • минимизаци€ функционала потенциальной энергии.

‘ункциональные кривые, параметры которых соответствуют приведенным требовани€м, называютс€ кривыми класса F [1].

«десь важно отметить дл€ сравнени€, что именно эти жесткие требовани€ к параметрам плавности и отличают кривые данного класса от кривых класса A. ѕоследние €вл€ютс€ формообразующими поверхностей класса ј Ч высококачественных по критери€м эстетики поверхностей внешних кузовных поверхностей. У’ороша€Ф крива€ дл€ этих поверхностей будет иметь график кривизны с небольшим числом участков монотонного изменени€ кривизны [18]. ƒанное требование можно сравнить с требованием минимальности количества экстремумов кривизны у функциональных кривых.

“аким образом, кривые класса ј представл€ют кривые дл€ формообразовани€ поверхностей в промышленном дизайне (рис. 1.4), в то врем€ как функциональные кривые €вл€ютс€ инженерными кривыми. “акие кривые высокого качества также прин€то называть плавными кривыми (от faired curves, fairing curves). «десь важно не путать последние с гладкими кривыми, которые €вл€ютс€ кривыми самого низкого качества Ч первого пор€дка гладкости [19].

‘ункциональные кривые высокого качества

–ис. 1.4. ћодель снегохода

Ѕиблиографический список
  1. ћуфтеев ¬.√., ћударисов —.√., ‘архутдинов ».ћ. и др. ќбоснование выбора оптимальной формы функциональной кривой динамической поверхности технического издели€ // »звести€ международной академии аграрного образовани€, 2013. ¬ып. 17. —. 90-93.
  2. –ожков ј.ѕ.  улачок привода клапана. јвторское свидетельство є1237778, приоритет от 5 сент€бр€ 1983 г., зарегистрирован 15 феврал€ 1986, с 1 июл€ 1991 выдан патент взамен авторского свидетельства.
  3.  ар€кин Ќ. »., Ѕыстров  . Ќ.,  иреев ѕ. —.  раткий справочник по физике. - ћ.: ¬ысша€ школа, 1969. - 600 с.
  4. ћуфтеев ¬. √., ћударисов —. √., ћарданов ј.–. ћоделирование рабочей поверхности плуга // ћатериалы ¬сероссийской научно-практической конференции, посв€щенной 75-летию со дн€ открыти€ „увашской государственной сельскохоз€йственной академии. - „ебоксары: »зд-во „√—ј, 2006. —. 479-482.
  5. јбдуллин ћ. ћ., ‘аттахов ћ. ћ., ‘едоров ѕ. ј. јрхитектурно-ландшафтное проектирование дорог с учетом дорожной геометрии: ”чебник. - ”фа: Ќефтегазовое дело, 2011. - 320 с.
  6. ‘окс ј., ѕратт ћ. ¬ычислительна€ геометри€. ѕрименение в проектировании и на производстве: ѕер. с англ. - ћ.: ћир, 1982. - 304 с., ил.
  7. Ziatdinov R. Visual Perception, Quantity of Information Function and the Concept of the Quantity of Information Continuous Splines // Scientific Visualization. 2016. No 8. Vol. 1. P. 168-178.
  8. ¬. ‘. јндреев ќ. ¬., Ѕабков ¬. ‘. —правочник инженера-дорожника. 2-е изд., перераб. и доп. - ћ.: “ранспорт, 1969. - 552 с.
  9. —правочна€ энциклопеди€ дорожника / ћинтранс –оссии, –осавтодор. “. 5. ѕроектирование автомобильных дорог // ѕод ред. √. ј. ‘едотова, ѕ. ». ѕоспелова. - ћ.: »нформавтодор, 2007. - 815 с.
  10. Shen, J., Kang, S. H., Chan, T. F. Euler's elastica and curvature-based inpainting // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2003. No 63. Vol. 2. P. 564-592.
  11. Kineri, Y., Endo, S., Maekawa, T. Surface design based on direct curvature editing // Computer-Aided Design. 2014. Vol. 55. P. 1-12.
  12. Harada, T. Study of quantitative analysis of the characteristics of a curve // Forma. 1997. Vol. 12. No. 1. P. 55-63.
  13. Yoshida, N., Saito, T. Interactive aesthetic curve segments // The Visual Computer. 2006. No. 9. Vol. 22. P. 896-905.
  14. Gobithaasan, R.U., Miura,  . T. Aesthetic Spiral for Design // Sains Malaysiana. 2011. Vol. 40. No. 11. P. 1301Ч1305.
  15. Inoguchi, J. Attractive plane curves in differential geometry. In Mathematical Progress in Expressive Image Synthesis, 3rd ed. // Mathematics for Industry. Springer: Singapore, 2016. Vol. 24. P. 121-135.
  16. Ziatdinov, R. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function// Computer Aided Geometric Design. 2012. Vol. 29. No.7. P. 510-518.
  17. Levien, R. L. From Spiral to Spline: Optimal Techniques in Interactive Curve Design. PhD.thesis, University of California, Berkeley, 2009.
  18. Farin, G. Class A Bézier curves // Computer Aided Geometric Design. 2006. No. 23.
  19. ѕогорелов ј.¬. √еометри€. Ц ћ.: Ќаука, 1983. - 288 с.


„итайте также:


¬акансии:

јктуальное обсуждение

RSS-лента комментариев

ƒавид Ћевин
ƒавид Ћевин
ќт редактора:  ак искусственный интеллект защищал Ђ√еометрическое моделированиеї Ќ.Ќ. √олованова от пиратства isicad.ru
ѕроект ЂЌародное —јѕ–-интервьюї

—лучайна€ стать€:

ј что происходит в Dassault Systèmes?  — ѕодготовил ƒ. Ћевин (1 августа 2021)
isicad Top 10

—амые попул€рные материалы

   ‘орумы isicad:

isicad-2010 isicad-2008
isicad-2006 isicad-2004

ќ проекте

ѕриглашаем публиковать на сайте isicad.ru новости и пресс-релизы о новых решени€х и продуктах, о проводимых меропри€ти€х и другую информацию. јдрес дл€ корреспонденции - info@isicad.ru

ѕроект isicad нацелен на

  • укрепление контактов между разработчиками, поставщиками и потребител€ми промышленных решений в област€х PLM и ERP...
ѕодробнее

»нформаци€ дл€ рекламодателей


¬се права защищены. © 2004-2021 √руппа компаний «Ћ≈ƒј—»

ѕерепечатка материалов сайта допускаетс€ с согласи€ редакции, ссылка на isicad.ru об€зательна.
¬ы можете обратитьс€ к нам по адресу info@isicad.ru.