Новогодний геометрический диктант «Овалы и многогранники»

Вы, вероятно, знаете, что уже более 10 лет в России и за рубежом ежегодно проводится ставший популярным «Тотальный диктант» по русскому языку. Может и сами участвовали в нём. А последние два года проводится ещё и географический диктант, организованный Русским географическим обществом, также ставший востребованным людьми ежегодным мероприятием. А что, если теперь – геометрический?

Предположим, что в одном ландшафтном парке (ботаническом саду), где все клумбы, цветники, пруды, бассейны и фонтаны… были или круглыми, или квадратными, решили, что нужно увеличить разнообразие геометрических форм и, тем самым, улучшить архитектурную гармонию парка. Кто с этой задачей может справиться? Конечно же – ландшафтный архитектор. Но как выбрать из множества соискателей на эту должность достойного? Один из способов выбора – предложить им ответить на вопросы геометрического диктанта, правильное решение вопросов которого и будет определяющим.

Один из вариантов диктанта, состоящего из 40 вопросов, представлен ниже.

Предлагаю читателям также принять участие в решении этих вопросов. Девиз этого геометрического диктанта: «Кто решит вопросов пачку, не впадёт тот в зимню спячку!», а тема: «Овалы и многогранники». Вопросы по плоским овалам и объёмным многогранникам в диктанте чередуются, поскольку считается, что попеременная работа в 2D и 3D развивает пространственное мышление, да и в целом, умственные способности.  Желаю успехов!

Ответы никуда посылать не нужно. Просто сверьте их с ответами автора и поставьте себе оценку по пятибалльной системе: за каждые восемь правильных ответов – один балл. Редакцию попрошу дополнить заметку ответами (от автора) в конце (или по окончании) новогодних каникул. Набравшие 4 и 5 баллов, сообщите о своём успехе в комментариях и вместе порадуемся!

Вопросы диктанта

1. Назовите самый известный овал стабильной формы.
2. Сколько правильных многогранников существует, и как их называют?
3. Назовите замкнутые геометрические фигуры, площадные контрпрямоугольные константы которых равны: 1/2; 2/3; 3/4; π/4.
4. Существует ли правильный многогранник, грани которого шестиугольники? На рис. 1 подсказка
   

   Рис. 1

5. Площади овалов: окружность, эллипс, циклоп, циркон, циклон, цитрон определяются по формулам: ≈2,895ab; 3ab; πab; ≈3,185ab; ≈3,394ab (a и b - полуоси овалов). Перечислите эти овалы в соответствии с последовательностью формул.
6. Назовите правильный многогранник с минимальным количеством граней.
7. Назовите овальные кривые стабильной формы, константы соотношения осей которых равны: π/2; 2; 4/π; 1/(1-2/π).
8. Какой многогранник изображён на рис. 2, какова форма его граней и какое соотношение осей у его граней?
   

   Рис. 2

9. Назовите овальные кривые, площадные контрпрямоугольные коэффициенты которых могут приближаться к 1.
10. Назовите углы между соседними гранями в правильных многогранниках: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
11. Какой овальной кривой принадлежит константа: √(π^2+4)?
12. Какие многогранники являются генераторами случайных чисел?
13. Площадь какой овальной кривой стабильной формы в 1,5 раза больше площади вписанной в неё окружности?
14. Форму какого многогранника имеет молекулярное соединение углерода – фуллерен?
15. Решателем какой кривой является овал циркон?
16. В упаковке этой формы, кроме бутылок, продавалось молоко в 20-м веке. Какой формы была упаковка?
17. Какие овалы не имеют фокусов?
18. Назовите самый применяемый правильный многогранник.
19. Какие замкнутые кривые состоят из двух парабол?
20. Назовите правильный многогранник с наибольшим количеством вершин.
21. По какой формуле рассчитывается радиус эквидистанты эллипса для получения антиэллипса?
22. Назовите угол между двумя соседними гранями ромбододекаэдра.
23. У овала по четыре выпуклых и вогнутых участка. Назовите этот овал.
24. Сколько граней, рёбер и вершин у икосаэдра?
25. К какой группе овалов по контрэллипсной классификации относятся эквиэллипсы?
26. Сколько трёхгранных и четырёхгранных углов у ромбододекаэдра?
27. Какой овал имеет кроме оптических фокусов алгебраические фокусы?
28. В чём различие у пентагондодекаэдра и правильного додекаэдра?
29. Какие овалы имеют кроме оптических фокусов центры построения?
30. Используются ли ромбододекаэдры в качестве «игральных костей»?
31. Назовите овал, который при изменении параметров может распадаться на два овала.
32. Сколько осей симметрии и плоскостей симметрии у куба?
33. Назовите овал, напоминающий своей формой корпус гитары.
34. Назовите возможные силуэты прямоугольных проекций ромбододекаэдра.
35. Назовите овал, напоминающий своей формой лимон.
36. Сколько осей симметрии и плоскостей симметрии у додекаэдра?
37. Какая кривая может принимать форму окружности, эллипса, квадрата, ромба, астроиды, бипарабоид и тетрапарабоид?
38. Длина малой полуоси грани ромбододекаэдра равна 1. Чему равны: большая полуось грани; ребро многогранника и расстояние между его параллельными гранями?
39. Где расположены точки минимальной суммы длины лучей от фокусов у гиперовалов?
40. Сколько плоскостей симметрии у тетраэдра?

Ответы

1. Окружность.
2. Пять, тела Платона.
3. Треугольник; все бипарабоиды Ламе; правильный шестиугольник и циклоп; окружность и эллипс.
4. Нет.
5. Циклон; циклоп; окружность и эллипс; циркон; цитрон, соответственно.
6. Тетраэдр.
7. Циклоп; цитрон; циклон; циркон.
8. Ромбододекаэдр, ромб, √2.
9. Гиперэллипсы Ламе и антиэллипсы.
10. ≈71°; 90°; ≈110°; ≈117°; ≈138°.
11. Брахистохронная константа циклопа.
12. Все правильные многогранники.
13. Циклоп.
14. Усечённый икосаэдр.
15. Окружность.
16. Тетраэдр.
17. Овалы R-0 и фокинон.
18. Гексаэдр (куб).
19. Бипарабоиды Ламе.
20. Додекаэдр.
21. R=b√(a/b) , где а – большая полуось эллипса; b – малая полуось эллипса.
22. 120°.
23. Лимон.
24. 20; 30; 12.
25. Гиперовалы.
26. 8 и 6.
27. Овал Кассини.
28. В форме граней.
29. Овалы Максвелла.
30. Нет.
31. Овал Кассини.
32. 9 и 9.
33. Гиперон.
34. Квадрат, вытянутый шестиугольник.
35. Лимон.
36. 15 и 15.
37. Кривая Ламе.
38. √2; √3; 2√2.
39. На полюсах большой оси.
40. Шесть.