¬аше окно в мир —јѕ–
Ќовости —татьи јвторы —обыти€ ¬акансии Ёнциклопеди€ –екламодател€м
—татьи

6 марта 2023

ƒлина дуги Ч поиски универсальной формулы

√уванч ќвезов, Ѕерды ќвезов

√уванч ќвезов Ѕерды ќвезов

ќба автора Ч инженеры-электрики, занимающиес€ проектированием силовых и слаботочных сетей административных, общепромышленных зданий и морских нефтегазовых платформ на территории “уркменистана и в прибрежных акватори€х  аспийского мор€.


ЂЌа практике часто требуетс€ найти длину дуги,
данной на чертеже или в натуре, причем неизвестно,
какую часть окружности составл€ет дуга и каков еЄ радиусї.


ѕредисловие Ѕерды ќвезова

¬ июне 2017 года на портале isicad.ru была опубликована мо€ стать€ Ђяйцевидный овал как производна€ї. я надеюсь, что читателей заинтересует нова€ публикаци€ Ч теперь уже с соавтором.

Ќа этот раз всЄ началось с того, что при решении прикладной задачи по раскройке винтообразной лопасти ветрового генератора мы столкнулись с необходимостью определить радиус кривизны кромки лопасти. ¬ поисках ответа мы привычно обратились к справочнику ћ.я. ¬ыгодского, 1987 г., издание двадцать седьмое, исправленное, и нашли там Ђ‘ормулу длины дуги √юйгенсаї.  ромка нашей лопасти представл€ла собой дугу, описанную в справочнике, но в формуле √юйгенса мы ответа на свой вопрос не нашли. ѕоиски этого радиуса, приведшие к новому пониманию природы дуги √юйгенса, описаны в нашей статье.

¬ справочнике по элементарной математике ћ. я. ¬ыгодского, в разделе Ђ√еометри€ї, І15а, представлена формула голландского ученого ’. √юйгенса (1629-1695) [1], выражающа€ длину дуги. ѕредставим выписку из І15а Ђ‘ормула длины дуги ’. √юйгенсаї.

«адача формулируетс€ следующим образом [2]:

ЂЌа практике часто требуетс€ найти длину дуги, данной на чертеже или в натуре, причем неизвестно, какую часть окружности составл€ет дуга и каков еЄ радиус.ї

ƒлина дуги

–ис. 1

Ђќтметим на данной дуге ј¬ (рис. 1) еЄ середину ћ (она лежит на перпендикул€ре —ћ, проведенном к хорде ј¬ через еЄ середину —) и соединим точку ћ с точками ј и ¬.ї

ѕолучаем геометрическое построение, где малые хорды l = јћ = ћ¬, основна€ хорда L = AB, высота h = CM €вл€ютс€ измер€емыми, а значит, известными величинами.

Ђƒлина P дуги ј¬ (рис. 1) выражаетс€ (приближенно) следующей формулой √юйгенса*):

.      (1)

ќтносительна€ погрешность этой формулы составл€ет около 0,5%, когда дуга ј¬ содержит 60∞.ї

¬ 17-м веке современников ’. √юйгенса за€вленна€ степень точности, видимо, вполне удовлетвор€ла. ƒа и в следующие века, веро€тно, эта формула исправно служила, так как никто за это врем€ не усомнилс€ в незаменимости этого математического выражени€. јвторам дл€ решени€ прикладной задачи было необходимо найти радиус кривизны кромки винтообразной лопасти. ¬ поисках ответа мы обратились к Ђ‘ормуле длины дуги √юйгенсаї, но оказалось, что √юйгенс в своей формуле прекрасно обошелс€ без радиуса окружности. ¬ дальнейшем дл€ простоты изложени€ эта окружность будет упоминатьс€ как образующа€. ќбозначилась задача: найти математическое выражение длины дуги, которое содержало бы в себе радиус неизвестной пока образующей окружности. ¬ы€снилось, что уравнение, выражающее длину дуги, давно существует [3]:

,      (2)

где = 3,14159Е Ч универсальна€ константа, r Ч радиус окружности, содержащей дугу, n∞ Ч внутренний угол сектора, образованного дугой. Ќо уравнение (2) в геометрии выражает длину дуги при известной образующей окружности с заданным радиусом r и заданным центральным углом n∞. —ледовательно, предстоит решить задачу по наполнению уравнени€ новым содержанием, преображающим его в математическое выражение, описывающее дугу неизвестной окружности.

Ќачнем с того, что в самой формулировке задачи [2] предполагаетс€, что исследуема€ дуга €вл€етс€ частью неизвестной окружности. ≈сли копать в этом направлении, задача сводитс€ к нахождению образующей окружности с применением вспомогательных геометрических построений и нетривиальных геометрических функций.

Ќемного из истории тригонометрии, цитата из справочника:

Ђ¬ыдающийс€ немецкий астроном XV века –егиомонтан (1436 - 1476) составил обширные таблицы синусов за два столети€ до времен творчества √юйгенса. «а таблицами –егиомонтана последовал р€д других, ещЄ более подробных. ƒруг  оперника –етикус (1514-1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в 1596 году его учеником ќто.ї [4]

√юйгенс, как большой ученый, не мог быть неосведомленным в вопросах применени€ геометрических построений и тригонометрических функций. ¬озникает вопрос: почему √юйгенс не пошел по этому пути? ¬озможно, формула, предложенна€ √юйгенсом человечеству, сама по себе не была целью его исследований. ћожно лишь предположить, что √юйгенс вывел формулу длины дуги как инструментарий дл€ решени€ какой-то промежуточной прикладной задачи, котора€ приближала его к цели в его основных исследовани€х. Ќу а после √юйгенса, видимо, никому и в голову не приходило попытатьс€ улучшить инструмент, ведь относительна€ погрешность мала: всего одна двухсота€ Ч ноль целых, п€ть тыс€чных. Ќо не в наши времена. ѕо этому поводу можно лишь пошутить, что в наше врем€ допустима€ погрешность Ч это размерности, приближающиес€ к Ђпланковской длинеї [5].

Ќа практике подавл€юще большое множество кривых несЄт в себе фрагменты, €вл€ющиес€ дугой √юйгенса.   примеру, в начертательной геометрии и, как следствие, в аналитической геометрии, это наблюдаетс€ на каждом шагу Ч это проекции двумерных и трехмерных кривых на плоскость. ¬ интернете встречаетс€ множество решений различных задач подобного рода при помощи коротеньких уравнений, пристегнутых к онлайн калькул€тору, то есть к алгоритму, зашитому в компьютерную программу. ўелчок по клавише Ч и задача действительно решаетс€. ќ крайност€х в этом направлении хорошо сказал ¬ладимир “алапов: Ђ¬озможны и другие сходные по глубине понимани€ варианты, недалеко ушедшие от своего недавнего предшественника Ч “—делайте нам проект в электронном виде!”ї [9].

Ќо наша песн€ не об этом. ƒело в том, что в ≈вклидовой геометрии, где царит железобетонна€ иерархи€ причинно-следственных св€зей, формула (даже не уравнение) √юйгенса, при всЄм к нему уважении, выгл€дит экзотическим, чужеродным телом. —о всей очевидностью приходитс€ признать, что вопрос длины дуги, обозначенный √юйгенсом, со времЄн рождени€ Ђформулы длины дугиї [1] вплоть до наших дней остаЄтс€ открытым. ѕодчеркнЄм, в рамках элементарной математики и ≈вклидовой геометрии.


ќднако приступим. Ќа рис. 2, с середины малых хорд јћ и ћ¬ строим перпендикул€ры вплоть до их взаимного пересечени€. ѕрименение перпендикул€ров €вл€етс€ ключевым моментом решени€ нашей задачи. “очка пересечени€ перпендикул€ров €вл€етс€ центром искомой образующей окружности. ќсновна€ часть задачи решена, найден центр образующей окружности. “еперь любой отрезок, проведЄнный от центра до линии дуги, будет радиусом образующей окружности. “огда отрезок ћќ на рис. 2 €вл€етс€ радиусом образующей окружности и в тоже врем€ гипотенузой треугольника ќ ћ.

ƒлина дуги

–ис. 2

–ассмотрим на рис. 2 треугольники ћ¬— и ќ ћ. Ёти два пр€моугольных треугольника имеют общий угол β. ќпуска€ подробности, констатируем, что эти треугольники подобны. —ледовательно, должно выполн€тьс€ правило пропорциональности:

ѕолучаем выражение радиуса искомой окружности:

,           (3)

              (4)

¬ставим выражение (3) в уравнение (2) и получим уравнение длины дуги:

.      (5)

≈сли мы решаем избавитьс€ от величины малой хорды l, то вставл€ем выражение (4) в уравнение (5), и уравнение длины дуги примет следующий вид:

.         (6)

«адача в принципе решена. Ќайден центр образующей окружности, найден радиус образующей окружности, составлено уравнение длины дуги. ќсталось найти математическое выражение угла n∞ и вставить его в уравнение (6).

ƒлина дуги

–ис. 3

Ќа рис. 3 видно, что центральный угол n∞, образованный исследуемой дугой и двум€ ст€гивающими радиусами, равен сумме четырех углов альфа: n∞ = 4α. ”гол альфа, в свою очередь, характеризуетс€ выражением

или .

¬ принципе, можно на этом остановитьс€, сославшись на таблицу значений синусов угла. ј можно воспользоватьс€ обратными тригонометрическими (круговыми) функци€ми [6], но вначале коротко об обратных функци€х, цитата из справочника:

Ђ—оотношение х = sin y позвол€ет с помощью таблиц найти как Ђхї по Ђуї, так и Ђуї по данной величине Ђхї (не превышающей единицу по абсолютной величине). “аким образом можно считать не только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Ётот факт находит внешнее выражение в записи у = arcsin x. Ќапример вместо 1/2 = sin 30∞ можно написать 30∞ = arcsin 1/2. Ќахождение же синуса по углу и угла по синусу по одним и тем же таблицам, в которых к тому же выделено название Ђсинусї, а Ђарксинусї не упоминаетс€. ѕоэтому никакого особого действи€, результатом которого был бы арксинус, усматривать не приходитс€; и вообще в пределах элементарной математики введение этого пон€ти€, по существу, не оправдываетс€. ¬ высшей же математике арксинус по€вл€етс€ как необходимый результат некоторого действи€ (интегрировани€), и именно здесь возникло пон€тие арксинуса и его обозначение.ї [6]

–езюмиру€ изложенное, даем определение: arcsin(x) есть угол, синус которого равен Ђxї. Ќа €зыке математики это записываетс€ как sin(arcsin(x)∞) = x. Ёто выражение называетс€ основным соотношением обратной функции [7].

»так, после того как арксинус вы€вил себ€ в элементарной математике как проекци€ функции, несущей смысл только в высшей математике, мы всЄ же можем воспользоватьс€ им как символом, придающим уравнению законченный вид. ¬прочем, при вшивании уравнени€ в компьютерную программу наличие в уравнении арксинуса требует загрузки в программу всей таблицы синусов, что автоматически преобразует арксинус из символического в конструктивный элемент уравнени€.

¬ыразим угол как , тогда уравнение длины дуги примет следующий вид:

.

ѕосле соответствующих сокращений окончательный вид уравнени€, выражающего длину дуги, примет вид:

.      (7)

»сследование завершено, и можно поставить точку, но подведем итоги. ѕолученное уравнение избавл€ет нас от приближенности формулы √юйгенса и даЄт как искомую длину дуги, так и геометрическое осмысление исследуемой дуги как носител€ свойств образующей окружности. Ёто как в палеонтологии Ч по одному найденному зубу определ€етс€ вид доисторического животного [8]. “еперь представленна€ в справочнике задача

ЂЌа практике часто требуетс€ найти длину дуги, данной на чертеже или в натуре, причем неизвестно, какую часть окружности составл€ет дуга и каков еЄ радиусї

выгл€дит сформулированной не вполне корректно, так как, если и не совсем потер€ла смысл, то, несомненно, утратила категоричность истины в последней инстанции. »сследуема€ дуга в уравнении (7) приобретает статус кривой, несущей в себе полную информацию об образующей окружности. ”равнение (7) возвращает дугу из состо€ни€ приближЄнности √юйгенса в поле каузальной определЄнности ≈вклидовой геометрии.

’очетс€ закончить пожеланием: √оспода программисты, смело вшивайте в свои программы новорождЄнное уравнение!


—сылки

  1. ’. √юйгенс (1629-1685) Ч голландский механик, физик, математик, астроном, и изобретатель. ќдин из основоположников теоретической механики и теории веро€тности. ¬икипеди€.
  2. —правочник по элементарной математике ћ. я. ¬ыгодского 1987г. »здание двадцать седьмое, исправленное. –аздел Ђ√еометри€ї, І15а, стр. 212.
  3. —правочник ћ. я. ¬ыгодского издание 1987г. –аздел Ђ√еометри€ї, І15, стр. 211.
  4. —правочник ћ. я. ¬ыгодского издание 1987г. –аздел Ђ“ригонометри€ї, І3, стр. 247.
  5. ѕланковска€ длина Ч это масштаб длины, на которых квантова€ гравитаци€ становитс€ актуальной. ѕланковска€ длина в 1020 раз меньше диаметра атома водорода. ¬икипеди€.
  6. —правочник ћ. я. ¬ыгодского издание 1987г. –аздел Ђтригонометри€ї, І24, стр. 273 Ц 274.
  7. —правочник ћ. я. ¬ыгодского издание 1987г. –аздел Ђтригонометри€ї І25, стр. 275.
  8. Ђѕалеонтологи€ как наука была создана ’VIII веке в результате работ ∆оржа  ювье (1769-1832) по сравнительной анатомииЕї Ч ¬икипеди€.
  9. —тать€ ¬ладимира “алапова Уѕервое представление книги ЂBIM дл€ начинающихїФ от 23 феврал€ 2023 года.



¬акансии:

јктуальное обсуждение

RSS-лента комментариев

-->

ƒавид Ћевин
ƒавид Ћевин
ќт редактора: ѕомидоры,  јћј«, женщины и статистика
ѕроект ЂЌародное —јѕ–-интервьюї

—лучайна€ стать€:

√еотехнические расчЄты в ѕ√—: оптимизаци€ проекта — ѕавел Ѕатраков, руководитель геотехнического отдела MIDAS IT Russia (9 марта 2023)
isicad Top 10

—амые попул€рные материалы

   ‘орумы isicad:

isicad-2010 isicad-2008
isicad-2006 isicad-2004

ќ проекте

ѕриглашаем публиковать на сайте isicad.ru новости и пресс-релизы о новых решени€х и продуктах, о проводимых меропри€ти€х и другую информацию. јдрес дл€ корреспонденции - info@isicad.ru

ѕроект isicad нацелен на

  • укрепление контактов между разработчиками, поставщиками и потребител€ми промышленных решений в област€х PLM и ERP...
ѕодробнее

»нформаци€ дл€ рекламодателей


¬се права защищены. © 2004-2023 √руппа компаний «Ћ≈ƒј—»

ѕерепечатка материалов сайта допускаетс€ с согласи€ редакции, ссылка на isicad.ru об€зательна.
¬ы можете обратитьс€ к нам по адресу info@isicad.ru.