¬аше окно в мир —јѕ–
 
Ќовости —татьи јвторы —обыти€ ¬акансии Ёнциклопеди€ –екламодател€м
—татьи

28 апрел€ 2015

¬торое рождение циклоидального овала, или как был разобран по косточкам циклоп

¬иктор „ебыкин

¬иктор „ебыкин

ќт редакции isicad.ru: ѕубликуема€ сегодн€ стать€ ¬. „ебыкина отражает одну из многочисленных граней творчества Ѕлеза ѕаскал€ и, вместе с тем, дополн€ет одну из разработок выдающегос€ французского математика. ¬ статье использованы материалы заметок, опубликованных в журнале Ђ—јѕ– и графикаї и на нашем портале, а также привод€тс€ новые данные (свойства, элементы, константыЕ описываемой кривой).
Ѕлез ѕаскаль –улетта €вл€етс€ линией столь обычной, что после пр€мой и окружности нет более часто встречающейс€ линии; она так часто вычерчиваетс€ перед глазами каждого, что надо удивл€тьс€ тому, как не рассмотрели ее древние, ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катитс€ своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматьс€ от земли, до того, когда непрерывное качение колеса не приводит его оп€ть к земле после окончани€ целого оборота. ( Ѕлез ѕаскаль)

—огласно справке из ¬икипедии, Ѕлез ѕаска́ль (фр. Blaise Pascal; 1623-1662) Ч французский математик, механик, физик, литератор и философ.  лассик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории веро€тностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счЄтной техники, автор основного закона гидростатики.

ѕредисловие

— характеристикой рулетты (циклоиды), данной ѕаскалем, в целом можно согласитьс€, за исключением фразы ЂЕчто надо удивл€тьс€ тому, как не рассмотрели ее древниеЕї. »звестно и неоспоримо, что развитие науки - это непрерывный процесс получени€, совершенствовани€ и накоплени€ знаний, фактов, теорий, методовЕ. ѕричЄм этот процесс €вл€етс€ ускор€ющимс€ благодар€ развитию человеческого интеллекта, накоплению знаний и прогрессу техники, при этом, второе и третье во многом определ€етс€ первым.

“ак что удивл€тьс€ не стоит Ц то, что не знали Ђдревниеї стало доступно в 15 Ц 18 веках. “у же циклоиду, казалось бы, изучили тогда вдоль и поперЄк. ќднако белые п€тна всЄ же остались, что также не удивительно.

–ождение новой кривой. 17 век

¬ одной из работ Ѕлеза ѕаскал€, посв€щенной циклоиде, можно увидеть кроме циклоиды ещЄ и овал - замкнутую эллипсовидную кривую (рис. 1).
„ебыкин ѕаскаль 1

–ис. 1. ‘рагмент из работы Ѕлеза ѕаскал€

Ќетрудно догадатьс€, что она составлена из двух циклоид, но свойства еЄ не раскрыты, ничего не известно про характерные точки, фокусы, константыЕ. Ќе известно также, было ли присвоено этому овалу им€. ≈сть предположение, что овал использовалс€ ѕаскалем дл€ более точного построени€ циклоиды в районах точек возврата. ¬торое предположение Ц овал использовалс€ при выводе формул расчета площадей и объемов тел, получаемых при вращении частей арки циклоиды вокруг разных осей. “ак или иначе, автором этой геометрической фигуры следует считать Ѕлеза ѕаскал€.

»нтересно было узнать и имена других ученых, изучавших циклоиду: √алилей, Ќьютон, ћерсенн, ƒекарт, Ћейбниц, брать€ Ѕернулли, –ен, ‘ерма, “оричелли, ¬ивиани, –оберваль, √юйгенс, „ирнхаус, Ћопиталь, Ѕовель, Ќиколай  узанскийЕ —огласитесь, список впечатл€ющий! ќднако они не увидели в овале, сложенном из двух циклоид, новую кривую, во вс€ком случае, не описали еЄ свойств, не нарекли именем.

¬торое рождение кривой Ц вывод из забвени€

ѕри работе над статьЄй Ђ лассификаци€ и идентификаци€ эллипсовидных овальных кривыхї —јѕ– и графика, є3, 2014 [1] было желание охватить как можно большее число замкнутых кривых такого рода, сравнить их геометрию и свойства, классифицировать и определить критерии их идентификации.

÷иклоида, с еЄ овальными очертани€ми, хот€ и не принадлежит к замкнутым кривым, тоже попала в поле моего зрени€.  огда перва€ циклоида была мной построена, было замечено, что касательные к кривой в точках возврата не проход€т через верхнюю точку производ€щей окружности, что противоречит одному из свойств циклоиды. –азбиение производ€щей окружности на большее количество отрезков давали также неутешительные результаты. “огда возникла иде€ зеркально отобразить точки построени€ циклоиды относительно еЄ основани€ и соединить все точки единым замкнутым сплайном. ѕолученный таким образом овал состоит из двух кривых, которые уже соответствуют указанному свойству циклоиды. ¬озможно, и у ѕаскал€ была подобна€ последовательность действий дл€ получени€ правильной геометрии циклоиды.

Ќо крива€, состо€ща€ из двух циклоид, уже интересовала мен€ больше как овал (что думал по этому поводу ѕаскаль, мне неизвестно). Ёто то, что € искал дл€ вышеупом€нутой статьи. ѕервым делом стал смотреть информацию об этом овале в интернете и, ничего кроме картинки ѕаскал€ (рис. 1), не нашЄл. ћолчок и полный тишок (спасибо ƒавиду Ћевину за возрождение забытого слова, а если его и не было, то с лЄгкой руки ƒЋ будет!).

” геометрической фигуры нет имени, нонсенс, надо исправл€ть. ѕервое название было Ђкрива€ 2—ї (двойна€ циклоида), затем изменено на Ђциклоидальный овалї. Ётот термин впервые предложен в статье [1], в которой и начато описание геометрии и свойств овала, и которое было продолжено в статье Ђ÷иклоидальный и псевдоциклоидальные овалыї, —јѕ– и графика, є11, 2014 [2].

¬ одной написанной мной статье было предложено называть циклоидальный овал циклопом. ѕриживЄтс€ ли такое им€, покажет врем€.

ѕочему именно циклоп:

  1. »м€ созвучно с циклоидой;
  2. ћногие известные геометрические фигуры имеют короткие имена;
  3. —воей формой овал похож на беспозвоночное животное из отр€да веслоногих ракообразных, называемое циклопом;
  4. ѕровести параллель можно и с мифическим существом Ц циклопом Ц одноглазым гигантом. Ќаш геометрический циклоп отличаетс€ не размером, а циклопическим (большим) количеством констант. ¬место глаза у него два фокуса.

Ёлементы циклоидального овала (циклопа) –ис. 2 и циклоидальных овалоидов

„ебыкин ѕаскаль 2

–ис. 2. ÷иклоидальный овал (циклоп)

„ебыкин 2 рис 2 формулы

„ебыкин  рис 2  константы

ѕоиск упоминани€ циклоидального овала и его констант в литературе и интернете ничего не дал, поэтому названи€ констант и их обозначени€ предложены автором. «начени€ констант также пришлось (не без труда, но с интересом) определить самому. ћатематики, проверьте!

ѕервые семь констант были приведены в статье [1]. ѕозже были определены значени€ ещЄ дев€ти констант, семь из которых приведены в статье [2]. ¬ этой статье приводитс€ полный список констант, в том числе, две новые, а значение одной из ранее определЄнных констант уточнено, это касаетс€ перифокусной константы.

‘ормулы расчета некоторых параметров циклоидального овала и циклоидальных овалоидов:

„ебыкин  ѕаскаль формулы

‘ормулы (3) и (5) выведены –обервалем, (4) и (6) - автором статьи. Ќе исключаю, что последние две формулы были получены ранее ѕаскалем или –обервалем, либо кем-нибудь ещЄ, но информации об этом у мен€ нет. ÷иклоидальные овалоиды изображены на рис. 3.
„ебыкин ѕаскаль 3

–ис. 3. ÷иклоидальные овалоиды: а) овалоид вращени€ вокруг малой оси; овалоид вращени€ вокруг большой оси

—войства циклоидального овала

ѕо контрэллипсной классификации, предложенной в статье [1], циклоидальный овал относитс€ к группе гипоовалов. ѕоскольку этот овал состоит из циклоид, которые обладают свойствами брахистохронности и таутохронности, естественно, что эти свойства присущи и ему. –ассматривать эти свойства не будем, так как они хорошо изучены на циклоиде.

ќдним из свойств циклоидального овала €вл€етс€ наличие двух фокусов, имеющих строго определенное расположение. ‘окусы могут обмен€тьс€ между собой восемью парами лучей, отраженных от кривой, и парой пр€мых лучей. Ёто свойство было описано в стать€х Ђј не замахнутьс€ ли нам на √абриел€ нашего Ћаме?ї, —јѕ– и графика, є8, 2013 [3] и Ђѕараболический ли купол »саакиевского собора?ї, isicad.ru, є127, февраль 2015 [4].. “очки падени€ этих лучей на кривую, также как у кривой R-1, €вл€ютс€ характерными Ц в них мен€етс€ знак роста суммы пары отрезков от точки кривой до фокусов на противоположный (рисунок с полным комплектом характерных точек не показан).

ќтличительным свойством овала €вл€етс€ наличие четырЄх перицентров. ” эллипса, как известно, их два.

≈ще одно свойство циклоидального овала (циклопа): размеры элементов овала могут быть найдены как произведение радиуса производ€щей окружности данной циклоиды или размеров осей (полуосей) с определенными константами, приведенными выше. Ёто позвол€ет, зна€ значение одного (любого) элемента или параметра овала, определить радиус производ€щей окружности циклоиды и построить овал.

 ак видим, циклоидальный овал по своим свойствам и геометрии €вл€етс€ уникальной кривой. ¬з€ть хот€ бы константы. Ќайдетс€ ли ещЄ геометрическа€ фигура с таким количеством констант?

—тоит сказать и о том, что циклоидальный овал €вл€етс€ Ђродоначальникомї бесконечного р€да овальных кривых. ѕрисвоим им им€ Ц Ђпсевдоциклоидальные овалыї - (PCO Ц сокращенное от pseudo-cycloidal oval) и рассмотрим их ниже.

ѕсевдоциклоидальные овалы (псевдоциклопы)

ѕсевдоциклоидальный овал Ц плоска€ гладка€ замкнута€ эллипсовидна€ овальна€ крива€. Ќазвание впервые предложено в статье [2], где и начато описание его геометрии и свойств. ¬от один из способов получени€ псевдоциклоидальных овалов: использу€ операцию Ђ¬ыдавливаниеї (термин  ќћѕј—-3D), создадим 3D-модель пр€мого циклоидального цилиндра (рисунок не показан). Ёскиз основани€ цилиндра Ц циклоидальный овал. ѕри рассечении цилиндра наклонными плоскост€ми получаем фигуры, контуры которых внешним видом напоминают циклоидальный овал. ќдни из них выт€нутые по отношению к циклоидальному овалу, другие Ц сжатые, третьи - косые (рис. 4).
„ебыкин ѕаскаль 4

–ис. 4. ќвальные кривые: а) циклоидальный овал;
б) и е) Ц выт€нутые псевдоциклоидальные овалы;
в) и г) Ц сжатые псевдоциклоидальные овалы; д) косой псевдоциклоидальный овал

Ёто и есть псевдоциклоидальные овалы. ћен€€ расположение секущей плоскости, можно получить бесчисленное множество PCO различной формы.

PCO сохран€ют некоторые черты циклоидального овала, как по форме, так и по свойствам (это не касаетс€ косых псевдоциклоидальных овалов.) ѕотер€в большинство констант, две из них PCO всЄ же сохран€ют: это площадна€ контрэллипсна€ константа и площадна€ контрпр€моугольна€ константа, причЄм их численные значени€ совпадают с аналогичными у циклоидального овала:

площадна€ контрэллипсна€ константа Spcoe = S/Se ≈ 0,954 929 658 55Е;
площадна€ контрпр€моугольна€ константа Spco□ = S/S□ = 0,75,

где: S Ц площадь овала, Se Ц площадь описанного эллипса, S□ Ц площадь описанного пр€моугольника.

Ёти константы помогут идентифицировать PCO из р€да различных овальных кривых.

ѕсевдоциклоидальные овалы (кроме косых), как правило, имеют по два фокуса, но в определенных интервалах параметров могут быть бесфокусными. ¬ сжатых псевдоциклоидальных овалах, в зависимости от параметров, фокусы могут располагатьс€ как на одной, так и на другой ос€х. ѕо предложенной в статье [1] классификации эти кривые (кроме косых) Ц гипоовалы. —равним площадную контрпр€моугольную константу CO и PCO, равную 0,75, с аналогичной константой окружности и эллипса, у которых она составл€ет: π /4 ≈ 0,785 398 163 39Е. ѕо этой константе циклоидальный и псевдоциклоидальные овалы можно назвать эталонными овальными кривыми.

ѕрименение

ќблада€ свойствами брахистохроны, полукрыль€ циклоидального овала могут использоватьс€ как кривые скорейшего спуска. “аутохронность циклоиды привела к созданию ма€тника √юйгенса. »звестны и примен€ютс€ циклоидальные передачи и редукторы. ‘орма циклоидального овала может использоватьс€ в кулачках и эксцентриках. ¬озможно применение в оптике, архитектуре, дизайне и т.д.

ѕсевдоциклоидальные овалы, благодар€ бесконечному разнообразию форм (пропорций), могут быть использованы в таких област€х техники, как: кораблестроение, авиастроение, архитектура, оптика и многих других.

Ќа рис. 5 показаны 3D-модели нескольких псевдоциклоидальных овалоидов.

„ебыкин ѕаскаль 5

–ис. 5. ѕсевдоциклоидальные овалоиды. ѕримеры

«аключение

Ќу вот, циклопа разобрали по косточкам, кто следующий? Ѕуду рад, если стать€ кого-либо заинтересует, окажетс€ полезной. Ѕуду признателен и за любые поправки и критические замечани€.

ѕрошу проверить и уточнить значени€ констант (конечно, не до 10-триллионного знака, как это было, да ещЄ и продолжаетс€, с числом јрхимеда). ☺ ќсобо ценным будет уточнение фокальной константы.

≈сли у кого-то возникнет вопрос: зачем вообще нужны эти константы, то попробуйте решить такую задачу: необходимо определить площадь циклоидального овала при условии, что известен размер только одного из его элементов (например, перифокусное рассто€ние). ¬опрос после этого, надеюсь, будет сн€т.

ќтветит ли кто-нибудь на вопрос: явл€ютс€ ли псевдоциклоидальные овалы брахистохронными кривыми?  то давно не делал открытий, предлагаю зан€тьс€!  

∆елаю ¬ам успехов в труде и большого счасть€ в личной жизни!.... Ѕлагодарю за внимание! (‘раза заимствована у прораба Ц лектора (ћ. ѕуговкин) из Ђќперации џї).  

Ѕиблиографический список
1. „ебыкин ¬.  лассификаци€ и идентификаци€ эллипсовидных овальных кривых // —јѕ– и графика. 2014. є 3. —. 92, 94.
2. „ебыкин ¬. ÷иклоидальный и псевдоциклоидальные овалы // —јѕ– и графика. 2014. є 11. —. 105-106.
3. „ебыкин ¬. ј не замахнутьс€ ли нам на √абриел€ нашего Ћаме? // —јѕ– и графика. 2013. є 8. —. 92, 94-95.
4. „ебыкин ¬. ѕараболический ли купол »саакиевского собора? // isicad.ru, є127, февраль 2015.


„итайте также:


¬акансии:

јктуальное обсуждение

RSS-лента комментариев

-->

ƒавид Ћевин
ƒавид Ћевин
ќт редактора: ÷ифровой тройник
ѕроект ЂЌародное —јѕ–-интервьюї

—лучайна€ стать€:

isicad Top 10

—амые попул€рные материалы

   ‘орумы isicad:

isicad-2010 isicad-2008
isicad-2006 isicad-2004

ќ проекте

ѕриглашаем публиковать на сайте isicad.ru новости и пресс-релизы о новых решени€х и продуктах, о проводимых меропри€ти€х и другую информацию. јдрес дл€ корреспонденции - info@isicad.ru

ѕроект isicad нацелен на

  • укрепление контактов между разработчиками, поставщиками и потребител€ми промышленных решений в област€х PLM и ERP...
ѕодробнее

»нформаци€ дл€ рекламодателей


¬се права защищены. © 2004-2019 √руппа компаний «Ћ≈ƒј—»

ѕерепечатка материалов сайта допускаетс€ с согласи€ редакции, ссылка на isicad.ru об€зательна.
¬ы можете обратитьс€ к нам по адресу info@isicad.ru.