“Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии.”
— Давид Гильберт об одном из своих учеников.
(wiki)
Вы же тоже любите математику? Мы разработали пять геометрических решателей и много другого математически сложного ПО, поэтому чуть-чуть понимаем в этом.
Так что сегодня мы предлагаем поговорить о чём-то практически невозможном — о таком, что вроде бы и можно понять, но оно всё равно выглядит как-то нереально. Да, прямо сейчас мы приглашаем вас нырнуть прямо в глубину красоты математики, ведь в ней есть много чудесных граней, которыми может наслаждаться практически каждый.
Например, вы можете представить себе объект с нулевой площадью, бесконечным периметром и размерностью больше единицы и меньше двух? В математике часто так: или не понятно как, или не понятно зачем. Но сегодня мы собираемся рассмотреть примеры, которые не только имеют конкретную пользу для народного хозяйства, но ещё и просто прекрасны сами по себе!
Определения
Читать сухие формулировки скучно: «В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической» (wiki).
Так что давайте вместо этого нарисуем что-нибудь понятное. Например, рассмотрим фрактал, носящий гордое имя ковра Серпинского.
Его 105 лет назад описал Вацлавав Серпинский. Идея простая: на каждом шаге мы разбиваем синий квадрат на 3х3 ячеек, причём центральную делаем оранжевой. Если сделать так бесконечно много раз (математики так могут), то мы придём к очень специальной синей поверхности: её размерность (log 8)/(log 3) ≈ 1.8928 (больше 1 и меньше 2), площадь равна нулю (легко показать, что любое положительное число больше этой площади) и периметр бесконечен (в том смысле, что он превышает любое заданное число) – ровно как договаривались.
Ладно, выглядит это неплохо, но кому такие фракталы могут пригодиться? О, среди читателей этой строчки таких людей много! Так вышло, что если вы пользуетесь устройствами, поддерживающими Wi-Fi, то, вероятно, где-то недалеко от вас есть фрактальная антенна. Так что это всё не только про воображение, конечно.
Создайте собственный фрактал!
Теперь мы можем перейти от понимания фракталов к их созданию! Как думаете, сложно ли нарисовать следующую картинку?
Оказывается, это очень легко, если использовать специальный язык для этого. Описание данного фрактала выглядит очень компактно:
{"depth":9,"n":2,"rules":[[100,1,0,0],[1,1,1,1]],"colors":["#1a54b9","#e77e18"]}
Можете взглянуть на правила построения здесь.
Если внести минимальную правку, то получим новый рисунок:
{"depth":9,"n":2,"rules":[[200,1,0,0],[1,1,1,1]],"colors":["#1a54b9","#e77e18"]}
Этот второй фрактал доступен для изучения тут.
Язык описания фракталов
Язык получился ёмким и мощным. Здорово, что вам его даже понимать не надо, потому что мы реализовали для вас визуальный редактор. С его помощью вы сможете установить
- количество цветов
- размер сетки
- глубину (количество итераций)
- правила.
Правила — это здесь самое главное, конечно. Благо, они очень простые и естественные. Вы почувствуете это, как только попробуете поиграть с фракталами в нашей системе. Давайте рассмотрим, как легко строится ковёр Серпинского:
{"depth":5,"n":3,"rules":[[0,0,0,0,1,0,0,0,0],[1,1,1,1,1,1,1,1,1]],"colors":["#1a54b9","#e77e18"]}
На этой картинке как раз показаны два правила, которых хватает для построения ковра:
- Каждый синий квадратик заменяем на 8 синих и один оранжевый в центре;
- А каждый оранжевый заменяем на 9 оранжевых;
- Чёрные треугольнички показывают, что ничего поворачивать и отражать не надо (потом вы придёте к тому, что в них заключена основная сила).
Попробуйте поиграть с этим фракталом в нашем симуляторе здесь.
История генератора фракталов и благодарности
Идея этой системы подсмотрена в старинной программе Changer2 (© 1997 Юрий Хан, лицензия CC0 v.1.0 или старше), которая основана на ещё более древней программе Changer.exe. Мы не смогли найти самую первую версию, но в некоторых источниках сохранились упоминания, что её придумал Евгений Кашменский. Программа Changer2 была реализована более двух десятилетий назад, так что для её запуска вам может понадобиться старая версия Windows.
Примерно так это раньше выглядело (здесь же можно посмотреть пример симпатичного фрактала):
Конкурс красоты среди фракталов
Мы рады, что существует способ так легко описывать фракталы, что каждый теперь может создать красивый рисунок буквально в одну строчку с помощью нашего генератора. Так что теперь мы приглашаем вас нарисовать свой собственный фрактал.
Вы можете использовать больше цветов и сетки большего размера, чтобы сделать что-то по-настоящему красивое. Также мы очень рекомендуем поиграть с детьми в эти фракталы, потому что у них потрясающее воображение и чутьё. Опыт показывает, что дети понимают правила построения фракталов быстрее взрослых.
Присылайте свои фракталы на адрес quiz@ledas.com. А Анна, автор всех обложек ISICAD, выберет самые красивые.
Все присланные фракталы мы разместим на странице конкурса вместе с именами авторов (если не хотите видеть там своё имя, пожалуйста, напишите об этом явно). Мы с нетерпением ждём ваших удивительных результатов!