Параболические овалы и их замечательные константы

Когда у треопара (трёхосевого овала стабильной формы, составленного из трёх парабол) были выявлены две первые «замечательные» константы, значения которых выражались конечными десятичными дробями, возникло желание увеличить точность построения параболы, а вместе с ней и треопара, чтобы развеять сомнения в том, не случайные ли это совпадения. Количество точек построения параболы постепенно увеличивалось со 101 до 353, что неизменно приближало значения констант к заветным конечным десятичным дробям.

Потребность в дальнейшем увеличении количества точек построения отпала – и так всё было ясно.

При написании одной из статей об овале циклоп я многократно увеличивал количество точек построения кривой с целью проверить, насколько точно можно приблизить геометрию построения к расчётной. Число точек было доведено до 4200, благо что построение достаточно простое и без всяких вычислений. Наиболее сложным было нанесение точек и соединение их сплайном. Важно было соблюсти привязки и не пропустить ни одной точки при соединении. Для этого приходилось постоянно менять текущий масштаб от 1 до, практически, 1 млн, чтобы приблизиться к нужной области (или отдалиться от неё). КОМПАС не подкачал, и я не сдался  .

Поскольку координаты точек параболы определяются по формуле, построение её занимает больше времени, чем графическое построение циклопа, поэтому от идеи дальнейшего увеличения количества точек в данном случае я отказался.

При определении значений констант треопара, наряду с константами в виде бесконечных десятичных дробей, выявлены ещё две замечательные константы с одинаковым названием: площадная контртреугольная константа, одна из которых по значению совпала с площадной контрпрямоугольной константой треопара. На рис. 1 показан треопар с описанными многоугольниками и приведены все его замечательные константы.

Рис. 1.

Что характерно, у других трёхосевых овалов, за исключением треоцикла, замечательных констант не обнаружено. Факт наличия таких констант у треопара, несомненно, связан с уникальной геометрией и свойствами параболы и её взаимодействием с другими геометрическими фигурами.

Определены также формулы расчёта периметра и площади треопара:

P ≅ 14,3430p

S ≅ 15,5884p²,

где:

P – периметр овала,

p – параметр базовой параболы,

S – площадь овала.

На рис. 2 показан ещё один овал стабильной формы – тетрапар.

Рис. 2.

Надеюсь, понятно, почему он получил такое название: состыкованы четыре параболы. Тетрапар обладает одной (на настоящий момент) замечательной константой – площадной контртреугольной, значение которой приведено на рисунке. Кстати, окружность, вписанная в квадрат, обладает замечательной площадной константой π/4, а вот её площадная контртреугольная константа подкачала, её значение 0,6046…. Тетрапар воспользовался промахом окружности и выдал 0,6  .

Формулы для определения периметра и площади тетрапара:

P ≅ 9,1855p

S ≅ 6,6711p²

Про применение овалов не спрашивайте, сами придумаете  .

Буду благодарен за поправки, спасибо за внимание!