Правильные конические полиэдры

При написании предыдущей статьи я раздумывал, как назвать тела, ограниченные овалоидными поверхностями. А назвать их лучше было бы овалоидными полиэдрами. Соответственно, тела, ограниченные коническими поверхностями, следует назвать «коническими полиэдрами».

Если плоские основания правильных многогранников (тел Платона) заменить на поверхности прямых круговых конусов, то при определённых параметрах конусов и их взаимного расположения можно получить правильные конические полиэдры. После того как была построена модель первого такого тела – конического тетраэдра, я предпринял попытку найти в Интернете нечто подобное и… ничего не нашёл, что, конечно, удивило. Поскольку поиск проводился недолго, примерно по полчаса в Google и Яндексе, выводов об отсутствии или существовании описания таких геометрических форм делать, пожалуй, не стоит. Нет ничего страшного в том, что, возможно, будут повторены чьи-то исследования, более того, могут быть выявлены новые свойства этих тел.

Правильный конический тетраэдр

Параметры:

угол конуса 2α = arccos(1/3);
угол между осями конусов β = arccos(-1/3).

Формулы площади поверхности и объёма:

S ≅ 5,496h²;
V ≅ 1,058h³,

где S – площадь поверхности тела;
     V – объём тела;
     h – расстояние от центра тела до вершины конуса.

Замечательная константа: отношение расстояния от центра тела до вершины конуса к расстоянию от центра до стыковой вершины равно 5/3.

Правильный конический гексаэдр

Параметры:

угол конуса 2α = arccos(0);
угол между осями конусов β = arccos(0).

Формулы площади поверхности и объёма:

S ≅ 7,432h²;
V ≅ 1,752h³.

Правильный конический октаэдр

Параметры:

угол конуса 2α = arccos(-1/3);
угол между осями конусов β = arccos(1/3).

Формулы площади поверхности и объёма:

S ≅ 9,129h²;
V ≅ 2,485h³.

Правильный конический додекаэдр

Параметры:

угол конуса 2α = arccos(-(√5)/5);
угол между осями конусов β = arccos((√5)/5).

Формулы площади поверхности и объёма:

S ≅ 9,811h²;
V ≅ 2,782h³.

Правильный конический икосаэдр

Параметры:

угол конуса 2α = arccos(-(√5)/3);
угол между осями конусов β = arccos((√5)/3).

Формулы площади поверхности и объёма:

S ≅ 11,297h²;
V ≅ 3,518h³.

Некоторые общие свойства правильных конических полиэдров

• Все эти геометрические тела выпуклые.
• Свойства симметрии тел полностью совпадают с аналогичными свойствами соответствующих правильных многогранников (тел Платона).
• Доминантными вершинами тел являются вершины конусов.
• Прямая, соединяющая вершины соседних конусов, проходит через середину ребра, разделяющего поверхности этих конусов.

Вместо выводов