Решим задачу Томсона для N = 8

Согласно справке из Википедии, Сэр Джо́зеф Джон То́мсон (18 декабря 1856 — 30 августа 1940) — английский физик, лауреат Нобелевской премии по физике 1906 года с формулировкой «за исследования прохождения электричества через газы».
Наиболее значимыми его исследованиями являются: явление прохождения электрического тока при малых напряжениях сквозь газ, облучаемый рентгеновским излучением; исследование «катодных лучей» (электронных пучков), в результате которого было показано, что они имеют корпускулярную природу и состоят из отрицательно заряженных частиц субатомного размера. Эти исследования привели к открытию электрона (1897); исследование «анодных лучей» (потоков ионизированных атомов и молекул), которое привело к открытию стабильных изотопов на примере изотопов неона: 20Ne и 22Ne (1913), а также послужило толчком к развитию масс-спектрометрии.

Джозеф Джон Томсон

Задача Томсона формулируется следующим образом: необходимо найти такое расположение N одинаковых точечных зарядов на поверхности сферы, при котором их взаимное отталкивание минимально (т.е. при постоянном радиусе сферы минимальна сумма величин, обратных расстояниям между зарядами).

В статье «Задача Томсона» на сайте «Математические этюды» есть такая фраза: «Удивительно, но спустя век после постановки задача Томсона в трёхмерном пространстве решена только для случаев 2, 3, 4, 6 и 12 электронов на сфере. В других случаях экстремальность какой-либо конфигурации математически не доказана».

А что если попытаться решить и доказать эту задачу для количества зарядов N=8? Попробуем.

Перечислим тела с симметричным расположением 8 вершин, которые бы лежали на поверхности описанной вокруг них сферы: гексаэдр (куб), однородная квадратная антипризма (полуправильный многогранник), простая квадратная антипризма (антикуб), равновершинный конический тетраэдр (4 стыковые и 4 конусные вершины) и прямоугольный параллелепипед.

Построим 3D-модели первых четырёх тел (см. рисунок). Поскольку вершины прямоугольного параллелепипеда разнесены в пространстве хуже, чем вершины куба, а расположение вершин равновершинного конического тетраэдра полностью совпадает с расположением вершин куба, эти тела при решении задачи рассматривать не будем.

Теперь нужно оценить разнесение вершин многогранников на поверхности сферы. Но неужели придётся измерять расстояния между вершинами? Ведь у 8 вершин 28 связей. И тут появилась спасительная мысль – чем сильнее разнесены вершины, тем больше объём многогранника.

Тогда математический смысл задачи Томсона можно трактовать так: найти многогранник, вписанный в сферу, имеющий наибольший объём при условии, что все N вершин многогранника лежат на поверхности сферы, а сумма длин рёбер при каждой вершине одинакова.

Измерив объёмы тел на 3D-моделях и соотнеся их к объёмам описанных сфер, получаем следующие результаты:

0,367553 – куб;
0,410351 – однородная квадратная антипризма (полуправильный многогранник);
0,418301 – простая квадратная антипризма (антикуб).

Если перефразировать строчку из песни В. Высоцкого, то получится: «Лучше антипризм могут быть только антипризмы» .

Итак, максимальное разнесение вершин на поверхности сферы получилось у антикуба. То же можно сказать и об идеальном расположении одинаковых зарядов на сфере с точки зрения минимизации потенциальной энергии системы. Что характерно, победил не правильный многогранник и не полуправильный, а простой.

Читателей, которые считают моё решение неверным или бездоказательным, прошу высказаться в комментариях. Тех, кто одобряет, – тоже.

А теперь об ошибках Википедии в статье «Антипризма»:

1. Статью следует переименовать в «Однородная антипризма», поскольку речь в ней идёт только о таких антипризмах.
2. Вызывает сомнение правильность формулы вычисления объёма – результаты расчётов не совпадают с измерениями на моделях.

Благодарю за внимание!