Правильные многоовалоидные тела – аналоги платоновых тел

Первым таким аналогом стал параболический тетраэдр, который впервые был описан в статье «Параболический тетраэдр – новое геометрическое тело», опубликованной на isicad.ru. Тема была продолжена в статьях: «Ещё раз о параболических тетраэдрах» и «Криволинейные аналоги тел Платона» в журнале «САПР и графика», в первой из которых рассмотрены разновидности параболических тетраэдров, а во второй – описаны криволинейные аналоги всех правильных многогранников. Выяснилось, что таких аналогов бесчисленное множество.

Найти обобщающее название этим телам

«Эдр» имеет несколько переводов с древнегреческого: основание, седалище, грань, лицо…, но ни одно из этих слов, кроме «грань», не сочетается со словом «много». Рассматривались следующие варианты названия группы этих геометрических тел: «правильные многосторонники», «правильные овалоидные тела», «правильные тела, ограниченные поверхностями овалоидов», «правильные многоовалоидные тела»…

Однозначно сказать, что какое-то из этих названий наиболее подходящее, пока не могу, но для заголовка статьи выбрано последнее. Обращаюсь также к читателям с просьбой предложить свои названия, возможно, более точные, или выбрать из предложенных мной.

Правильные криволинейные тетраэдры

Рис. 1

Кстати, у Большого параболического тетраэдра выявлена ещё одна замечательная константа: это отношение суммарной длины рёбер к радиусу сферы, описанной вокруг него. Это отношение равно 10. Сравните со значением аналогичной константы обыкновенного (гранного) правильного тетраэдра, равным 9,797958971132712392789136298823…, посчитал на встроенном «Феликсе» . Согласитесь, что константа параболического «круче» .

Теперь посмотрим, как выглядят тетраэдры с основаниями-овалоидами на основе других кривых (рис. 2).

Рис. 2

В чём их сходство, и чем они отличаются друг от друга?

Сходство: все эти тела – Большие правильные тетраэдры. Свойства симметрии этих тел соответствуют аналогичным свойствам обыкновенного (гранного) правильного тетраэдра. В серединах рёбер все эти тетраэдры не имеют изломов.

Отличия: форма тел задаётся разными базовыми кривыми, имеющими разную геометрию, которая, в частности, определяет высоту вершин овалоидов и стыковых вершин. Соотношения этих высот указаны на рисунке для каждого тетраэдра. Следует отметить, что отношение меньше 1 только у одного тела – секанс-тетраэдра. У него стыковые вершины являются доминантными. У остальных тетраэдров доминантными являются вершины овалоидов. Тетраэдры, значения отношений высот которых близки к 1, по форме близки к шару, но с увеличением величины отношения тетраэдры вытягиваются вдоль осей овалоидов. Самый «брутальный» из показанных – фокинон-тетраэдр.

Аналоги – всем телам Платона

Для показа были выбраны: фокинон-гексаэдр (рис. 3), циклон-октаэдр (рис. 4), циклон-додекаэдр (рис. 5) и циклон-икосаэдр (рис. 6), которые сохраняют доминирование вершин овалоидов над стыковыми вершинами.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

На самом деле криволинейных аналогов тел Платона можно построить значительно больше, просто показанные на рисунках наиболее наглядны.

В заключение приведу цитату известного французского математика и историка математики Мишеля Шаля (фр. Michel Chasles) из книги «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов»:

Эти заключения сделаны автором книги 150 лет назад и, по-моему, актуальны и сейчас. А подчёркнутые мной слова без всякой ложной скромности я отношу и к себе (и себе подобным), и к моим геометрическим «изысканиям». Повторяю, только подчёркнутые .

Благодарю за внимание!