Шароусечённые аналоги платоновых и каталановых тел

Опыты с моделированием игральных костей неожиданно привели к выявлению новой (?) группы геометрических тел, объединённых мной в категорию «Шароусечённые аналоги платоновых и каталановых тел». Вообще придумать что-либо новое достаточно трудно, поскольку думающих на Земле семь с лишним миллиардов .

По каким признакам (параметрам) они являются аналогами? Каждое из этих тел имеет равное количество граней с одним из платоновых или каталановых тел. Число сопряжений касания каждой грани с соседними гранями совпадает с числом сопряжений грани соответствующего многогранника. Двугранные углы соответствующих пар равны между собой. Главное отличие – форма граней. У описываемых шароусечённых тел грани круглые одного размера.

На рис. 1–5 показаны модели шароусечённых аналогов тел Платона*.

Рис. 1. Аналог тетраэдра. 4 грани. 4 сферических участка. Двугранный угол 70,53°	Рис. 2. Аналог гексаэдра. 6 граней. 8 сферических участков. Двугранный угол 90°	Рис. 3. Аналог октаэдра. 8 граней. 6 сферических участков. Двугранный угол 109,47°
Рис. 4. Аналог додекаэдра. 12 граней. 20 сферических участков. Двугранный угол 116,57°	Рис. 5. Аналог икосаэдра. 20 граней. 12 сферических участков. Двугранный угол 138,19°

На рис. 6–18 показаны модели шароусечённых аналогов каталановых тел*.

Рис. 6. Аналог ромбододекаэдра. 12 граней. 14 сферических участков. Двугранный угол 120°	Рис. 7. Аналог триакистетраэдра. 12 граней, параллельных нет. 8 сферических участков. Двугранный угол 129,52°	Рис. 8. Аналог дельтоидального икоситетраэдра. 24 грани. 26 сферических участков. Двугранный угол 138,12°
Рис. 9. Аналог пентагонального икоситетраэдра. 24 грани, параллельных нет; 38 сферических участков. Двугранный угол 136,31°	Рис. 10. Аналог тетракисгексаэдра. 24 грани. 14 сферических участков. Двугранный угол 143,13°	Рис. 11. Аналог триакисоктаэдра. 24 грани. 14 сферических участков. Двугранный угол 147,35°
Рис. 12. Аналог ромботриаконтаэдра. 30 граней. 32 сферических участка. Двугранный угол 144°	Рис. 13. Аналог гекзакисоктаэдра. 48 граней. 26 сферических участков. Двугранный угол 155,08°	Рис. 14. Аналог дельтоидального гексеконтаэдра. 60 граней. 62 сферических участка. Двугранный угол 154,12°
Рис. 15. Аналог пентагонального гексеконтаэдра. 60 граней, параллельных нет. 92 сферических участка. Двугранный угол 153,18°	Рис. 16. Аналог пентакисдодекаэдра. 60 граней. 32 сферических участка. Двугранный угол 156,72°	Рис. 17. Аналог триакисикосаэдра. 60 граней. 32 сферических участка. Двугранный угол 160,61°
Рис. 18. Аналог гекзакисикосаэдра. 120 граней. 62 сферических участка. Двугранный угол 164,89°

Обратите внимание на сферические участки тел. У аналогов платоновых тел эти участки одинаковы для каждого отдельно взятого тела. У каждого из аналогов каталановых тел эти участки двух или трёх типов (3, 4, 5, 6, 8 и 10-лучевые звёзды). Сочетание круглых граней и звёздчатых участков создают своего рода мозаику, равномерно расположенную на поверхности шара, которая индивидуальна для каждого из шароусечённых тел.

О применении. Полученные разнообразные мозаики усечённых шаров можно использовать как варианты огранки ювелирных изделий. В предыдущих статьях я уже предлагал использовать шароусечённые тела в качестве игральных костей, ёлочных игрушек и сувениров.

Не исключаю, что кто-то из читателей захочет построить модели шароусечённых аналогов. Для них совет: начинать надо с построения многоугольников исходных многогранников (это касается каталановых тел). Сами многогранники строить не обязательно. Тем, кто пока не освоил 3D, можно посоветовать потренироваться на вкусных и полезных астраханских арбузах перед тем, как их съесть, – двойная польза будет .

Да здравствуют Шароусечённые и КОМПАС-3D, в котором они построены! 

*Примечание: десятичные значения углов округлены.