Графический решатель эллипсов

Построен график, закону которого подчиняются все эллипсы без исключения (рис. 1). График определяет периметр эллипса точнее, чем формула Рамануджана, которая считается одной из самых точных из приближённых.

Рис. 1

Это график зависимости периметра эллипса (любого) от размеров его осей и периметра вписанной в него (или описанной вокруг него) окружности. Согласитесь, что кривая очень похожа на гиперболу, но отыскать такую (полностью совпадающую) мне не удалось, помогайте, или вместе откажемся от этой идеи.

Как пользоваться графиком, думаю, понятно: на оси абсцисс откладываем величину отношения осей (или полуосей) эллипса, а на оси ординат получаем отношение периметра эллипса к периметру окружности. Поскольку последний нам известен, остаётся определить периметр эллипса.

У кого-то может возникнуть вопрос: зачем нужен этот график, если во всех CAD-программах есть автоматические построение и измерения эллипсов? Но, во-первых, это дополнительная опция, новый способ определения периметра. Во-вторых, график поможет решению, например, следующей задачи: имеется кулачок эллиптической формы и требуется изготовить новый, с периметром, большим, например, в 1,8 раза периметра имеющегося кулачка, при условии, что одна из его осей должна остаться неизменной. На графике основные действия решения показаны тонкими красными линиями.

Теперь о точности графика. Он построен всего лишь по 29 точкам. Чтобы сравнить его погрешность с погрешностями известных формул вычисления периметра эллипса, нужно иметь эталон точности. Насколько точно строит и измеряет эллипсы и другие овалы, например, КОМПАС-3D? Год назад на isicad.ru была опубликована статья «Циклоп штурмует фемтометровый диапазон», в которой шла речь об уточнении формы овала циклоп за счёт увеличения количества точек построения (до 4200). Измерения его площади и периметра имели погрешности, по сравнению с рассчитанными по формулам, в 13-х знаках. Ещё большую точность имеет КОМПАС-3D при построении эллипсов и измерении их площадей. Вот пример такого сравнения для эллипса с размерами полуосей 1000π мм и 2000 мм:

по формуле             19739208,802178717237668981999752 мм2
измерение               19739208,8021787180 мм2

Как видим, расхождение начинается на семнадцатом знаке. Надо полагать, что и периметр он измеряет не менее точно. Вывод: измерения в КОМПАС-3D можно использовать как эталонные, чем и воспользуемся. (Это не реклама продукта компании АСКОН, вполне возможно, что какая-то программа строит и измеряет точнее (или, менее точно). Конкуренция на пользу: лучшие всегда стараются быть впереди, отстающие подтягиваются).

Ну а теперь приведу погрешности определения периметра по графику относительно измерений в КОМПАС-3D:

Сравним эти результаты с погрешностями, которые даёт при расчётах периметра формула Рамануджана:

L ≈ π[3(a+b)-√((3a+b)(a+3b) ) ].

При тех же соотношениях полуосей ее соответствующие погрешности составляют 0,17625%; 0,01563% и 0,07812%. Как видим, график точнее. Увеличение числа точек построения графика, естественно, приведёт к повышению его точности.

Кстати, в статье «Эллипс» Википедии приведена ещё одна формула для периметра, причём, представлена как точная. Упоминается и автор – Семён Адлай. Честно скажу, что с ней пока не разобрался. Кому это удастся сделать, сообщите об этом. Думаю, что и читателям будет интересна эта формула и её точность. Попросить бы это сделать самого Семёна, но как, читает ли он isicad.ru?

Рис. 2